P4 · Pure Mathematics 4

رياضيات بحتة 4 (P4) هي الوحدة البحتة الإلزامية الأخيرة في الرياضيات الدولية A Level والمستوى الدولي في الرياضيات البحتة. يُفترض معرفة P1–P3 وقد يتم اختبارها في WMA14/01 (1 ساعة 30 دقيقة، 75 علامات؛ نفس قواعد الآلة الحاسبة وكتيب القوانين). يغطي هذا المرجع الإثبات بالتناقض، الكسور الجزئية، المعاملات، متسلسلة ذات الحدين العامة، الاشتقاق الضمني والمعتمد على المعاملات، المعادلات التفاضلية، طرق التكامل الموسعة، أحجام الدوران، والمتجهات. السلاسل، الاشتقاق الضمني والمعطى بالمعاملات، المعادلات التفاضلية، طرق التكامل الموسعة طرق التكامل، أحجام الدوران، والمتجهات.

ما يجب معرفته لـ P4 (غير موجود في الكتيب):

البرهان بالتناقض يفترض نفي الادعاء، ويستنتج استحالة، ويخلص إلى صحة الادعاء الأصلي. يجب معرفة كلا المثالين الكلاسيكيين:

مثال محلل — $\sqrt2$ عدد غير نسبي. (العدد يكون غير نسبي عندما لا يوجد كسر $\tfrac pq$ يساويه.) افترض بدلاً من ذلك $\sqrt2 = \tfrac pq$ في أبسط صيغة ($p, q$ أعداد صحيحة أولية فيما بينها، $q \ne 0$).

• التربيع: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$، لذا $p^2$ زوجي، مما يعني أن $p$ زوجي: اكتب $p = 2r$.
• إذن $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$، وبالتالي $q$ زوجي أيضًا.
• كون كل من $p$ و$q$ زوجيين يتناقض مع كون $\tfrac pq$ في أبسط صيغة. $\blacksquare$

مثال محلول — توجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. افترض وجود عدد محدود منها: $p_1, \ldots, p_k$.

• اعتبِر $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. عند قسمة $N$ على أي $p_i$ يتبقى الباقي 1.
• إذن $N$ هو إما عدد أولي بحد ذاته أو له عامل أولي غير موجود في القائمة — وفي كلتا الحالتين عدد أولي خارج $\{p_1, \ldots, p_k\}$، مما يتناقض مع الافتراض. $\blacksquare$

مثال محلول — تناقض مثلثي (مقتبس من Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 السؤال10). أثبت أن $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ لجميع $90° < x < 180°$.

• افترض العكس: بعض $x$ في المجال له $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. تربيع (كلا الجانبين غير سالب):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• لكن $90° < x < 180°$ يعطي $180° < 2x < 360°$، حيث $\sin 2x < 0$ — تناقض.
• إذن لا يوجد مثل هذا $x$، و$\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ على طول النطاق. $\blacksquare$
• تحقق عند $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓؛ عند $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

فكّك الدوال النسبية إلى كسور جزئية. البواقي تظل كما هي عند تعقيد خطي مكرر: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ أو $(ax+b)(cx+d)^2$ مع العامل المكرر $(cx+d)$ مقسمة عبر القوى؛ العوامل التربيعية غير مطلوبة. الكسور غير الصحيحة (درجة البسط $\ge$ درجة المقام) قسّم أولاً.

مثال محلول — عوامل مختلفة. فكك $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (من مجموعة أوراق P2 الورقية):

• تحقق عند $x = 0$: الطرف الأيسر $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$؛ الطرف الأيمن $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

مثال محلول — عامل مكرر. فكك $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• ضع الإعداد مع تقسيم العامل المكرر عبر القوتين:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• اضرب في جميع الأطراف: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• عند $x = 0$: $6 = A$. عند $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• قارن $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• تحقق عند $x = 1$: الطرف الأيسر $= \tfrac{16}{4} = 4$؛ الطرف الأيمن $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

المعادلات البارامترية تعطي كل من الإحداثيات من خلال معامل $t$: $x = f(t)$، $y = g(t)$. حول إلى صيغة ديكارتي بجعل $t$ موضوعاً لواحد المعادلات والتعويض في الأخرى (أو باستغلال متطابقة). لا تنسَ أبداً القيم المستبعدة لـ $x$ حيث ينهار تطبيق المعامل.

مثال محلول. منحنى له $x = 2t$، $y = t^2 - 1$. أوجد المعادلة الديكارتية.

• من $x = 2t$: $t = \dfrac x2$، لذا
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• تحقق عند $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$؛ الديكارتية: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

مثال محلول — نقطة ومعيار بارامترية (حقائق مثبتة من Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 Q5). منحنى بارامتري يمر عبر $P(-7, -3)$ عند $t = 2$ مع $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ هناك (من $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• ميل المعيار: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• تحقق: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

لأي نسبي $n$ و $\lvert x \rvert < 1$:

أولاً قوّم: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$، صالح لـ $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. فكك الكسور النسبية إلى كسور جزئية، ثم قم بفك كل جزء. لا تتوقف القوى إلا إذا كان $n$ عدداً صحيحاً موجباً.

مثال محلول (مُعدّل من Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 Q8). فك $\sqrt{4 + x}$ إلى ثلاثة حدود غير صفرية.

• قوّم: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$، صالح $\lvert x\rvert < 4$، مع $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• تحقق عند $x = 1$: المتسلسلة تعطي $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$؛ صحيح $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (حدّان دقيقان بالفعل حتى 2 منازل عشرية).

الاشتقاق الضمني يشتق كلا الطرفين بالنسبة لـ $x$، مع اعتبار $y$ دالة في $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$، والمنتجات مثل $xy$ تتطلب قاعدة الضرب: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. ثم حل من أجل $\dfrac{dy}{dx}$.

الاشتقاق البارامتر: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.

مثال محلول — مماس ضمني (مُعدّل من Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 سؤال 1). المنحنى $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ يمر بالنقطة $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. أوجد المماس عند تلك النقطة.

• اشتق حداً تلو الآخر:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• عند $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$، لذا
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• المعادلة: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• تحقق: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

شكّل معادلة من وصف معدل، ثم حل المعادلات القابلة للفصل:

استخدم شرطاً حدودياً للحصول على الحل الخاص. تستخدم معدلات التغير المترابطة قاعدة السلسلة: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

14 سم لها حجم 2025 وتذوب بمعدل 2 (ثابت، بوحدة يتميز $r$ سم بحجم $V = \tfrac43\pi r^3$ ويذوب بمعدل $\dfrac{dV}{dt} = k$ (ثابت، بوحدة سم³ لكل ثانية). أثبت $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• قاعدة السلسلة: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$، لذا
• قاعدة السلسلة: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$، لذا
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• الثابت $\dfrac{k}{4\pi}$ يُضرب في $\dfrac{1}{r^2}$: معدل تناقص نصف القطر يتناسب عكسياً مع $r^2$. $\blacksquare$
• التفسير: الكرات الصغيرة تختفي بسرعة غير متناسبة — المليمتر الأخير يذوب بأسرع ما يمكن.

مثال محلول — معادلة قابلة للفصل (معدّل من Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 السؤال3). حل $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$، مع $y = 4$ عند $x = \tfrac\pi6$.

• فصل المتغيرات: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (الجانب الأيمن يُكامل إلى $\tfrac32\sec 2x$، عكس $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• عوض بـ $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$، إذن $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• تحقق: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• التعويض (معطى عادةً): أعد كتابة التكامل في $u$، عدّل $dx$ عبر $\dfrac{du}{dx}$، أكمل التكامل، ثم أعوض. إنه عكس قاعدة السلسلة.
• التكامل بالتجزئة: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — عكس قاعدة الضرب. احفظ $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ والتجزئات المتكررة لتكاملات من نوع $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• الكسور الجزئية تحوّل الدالة الكسرية المُكاملة إلى مجموع $\dfrac{A}{ax+b}$ (تكاملها يعطي لوغاريتمات) و$\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (قوى).

مثال محلول — بالتجزئة مع تكرار ظاهر. أوجد $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (مطلوب لحجم الدوران مع منحنيات مثلثية).

• تجزئة بـ $u = \mathrm{e}^x$، $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• تجزئة مرة أخرى على التكامل الجديد ($u = \mathrm{e}^x$، $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• يتكرر التكامل الأصلي؛ اجمعه:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• تحقق بالاشتقاق: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

عند تدوير المنطقة تحت $y = f(x) \ge 0$ حول المحور $x$، تتولد مجسم حجمه

حجم الدوران

أquare الدالة قبل التكامل، واستخدم المتطابقات للتعامل مع $\sin^2$/$\cos^2$، وقسّم باستخدام الخطية. بالنسبة للمعادلات البارامترية، استبدل $y^2\,dx$ بـ $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ بين قيم المعاملات؛ تُستخدم $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$ لحساب المساحات تحت المنحنيات البارامترية.

مثال محلول — الحجم باستخدام متطابقة (تم تعديل البنية من Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 Q9). المنطقة التي تقع تحت $y = 3\cos x$ بالنسبة لـ $0 \le x \le \tfrac\pi2$ تدور حول محور $x$؛ أوجد الحجم الدقيق.

• تحقق: متوسط $\cos^2x$ خلال نصف دورة هو $\tfrac12$، لذا فإن $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ بشكل صحيح تماماً.

المتجه له مقدار واتجاه، يُكتب $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ أو كعمود.

المقدار هو $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$؛ المتجه الوحدة في اتجاه $\mathbf a$ هو $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$.

لجمع المتجهات والضرب القياسي معاني هندسية (إزاحة، تكبير/تصغير، التوازي عندما يكون أحدهما مضاعفاً للآخر).

يعطي الضرب القياسي $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ الزوايا عبر $\cos\theta$. متجه الموضع للنقطة $B$ بالنسبة للنقطة $A$ هو $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

مثال محلول — مثلث بزاوية 45° (Edexcel IAL WMA14 يونيو 2025 Q6، تم التحقق منه بالكامل). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$، والزاوية $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$، وبالتالي $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$؛ $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• الضرب القياسي: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• شرط الزاوية مع $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• التحقق: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ يتوافق مع الضرب القياسي.

• هيكلة إثباتات التناقض (√2، الأعداد الأولية) مع صياغة الافتراض وتسمية التناقض.
• تفكيك الكسور الجزئية بما في ذلك العوامل الخطية المكررة؛ قسّم الكسور غير Proper أولاً ثم تحقق باستخدام قيمة مُعوضَة.
• التحويل بين البارامترية ↔ الديكارتيية مع القيم المستبعدة؛ إيجاد المماسات والأعمدة البارامترية عبر dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• قم بتوسيع $(a + bx)^n$ للأعداد النسبية $n$ مع شرط الصلاحية؛ اجمع توسيعات الكسور الجزئية. الكسور الجزئية.
• اشتق بشكل ضمني (باستخدام قاعدة الضرب على الحدود المختلطة) وبارامترية؛ كوّن معادلات تفاضلية من معدلات مترابطة. المعادلات التفاضلية من معدلات مترابطة.
• حل المعادلات القابلة للفصل بشرط حدودي؛ تحقق من الحل الخاص.
• تكامل بالتعويض، بالتجزئة (بما في ذلك التكرار، $\ln x$)، والكسور الجزئية.
• احسب أحجام الدوران $\pi\int y^2 dx$ ومناطق البارامترية عبر $dx/dt$.
• استخدم المتجهات: المقدار، متجهات الوحدة، متجهات الموضع؛ زوايا الجداء القياسي.