P1 · Pure Mathematics 1

رياضيات بحتة 1: مجموعة الأدوات التي تستخدمها كل الوحدات اللاحقة

رياضيات بحتة 1 (P1) هي الوحدة الإلزامية الأولى لكل من International AS وInternational A Level Mathematics، وInternational A Level Pure Mathematics. يغطي هذا المرجع كل موضوع P1 في مواصفة Edexcel IAL (قضية 3، أبريل 2019): الجبر والدوال، والإحداثيات الهندسة، والمثلثات، والتفاضل والتكامل.

• امتحان P1 (WMA11/01) مدته 1 ساعة و30 دقيقة وقيمته 75 علامة، ويجب عليك الإجابة على جميع الأسئلة. شملت الامتحانات الأخيرة عشرة أسئلة من 5 إلى 11 علامة لكل منها.
• يُسمح باستخدام آلة حاسبة، ولكن لا تُستخدم آلة تحتوي على جبر رمزي، أو اشتقاق رمزي أو تكامل، أو صيغ مخزنة قابلة للاسترجاع.
• يتم توفير الكتيب الأصفر المعادلات الرياضية والجداول الإحصائية. المعادلات في الجدول "يجب أن تعرفه" أدناه لا تظهر في ذلك الكتيب، لذا احفظها.
• قدّم إجابات غير دقيقة إلى 3 أرقام معنوية ما لم يُطلب منك آخر. عندما تقول السؤال "يجب أن تُظهر جميع مراحل عملك", فإن إجابة الآلة الحاسبة وحدها لا تحصل على أي شيء.

المعادلات التي يجب أن تعرفها لـ P1 (من معلومات التقييم في المواصفة):

المعادلة	الاستخدام
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$	جذور $ax^2 + bx + c = 0$
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$	قانون الجيب
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	قانون جيب التمام
مساحة $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$	مساحة المثلث
طول القوس $s = r\theta$، مساحة القطاع $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$	$\theta$ بالراديان
$\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$	قاعدة القوة في التفاضل
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$	قاعدة القوة في التكامل

الجبر والدوال

الأسس والجذور

تنطبق قوانين الأسس على جميع الأسس الكسرية:

الأسس الكسرية تمثل جذورًا: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$، لذا $a^{1/2} = \sqrt{a}$ و $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. يعني الأس السالب المقلوب: $a^{-1} = 1/a$. عادةً ما تُطلب الإجابة على الصورة $kx^n$ مع تبسيط الثوابت $k$ و$n$ كليًا.

مثال محلول — ثلاث عمليات على الأسس (معدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال 1). بمعطى $p = \dfrac{x^4}{16}$ و$q = \dfrac{40}{3x}$، اكتب كل تعبير على الصورة $kx^n$.

(a) $p^{\frac{1}{2}}$.

• معلوم: $p = x^4/16$، والأس $\tfrac12$ يعني الجذر التربيعي.
  $$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
• تحقق: بتربيع الإجابة، $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.

(b) $(pq)^{-1}$.

• معلوم: اضرب قبل قلب، باستخدام $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
  $$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$
  $$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
• تحقق: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.

(c) $(pq)^2$.

• تحقق: $5^2 = 25$، $6^2 = 36$، $(x^3)^2 = x^6$، والثوابت مبسطة كليًا بالفعل.

الجذر غير العشري هو جذر دقيق مثل $\sqrt{2}$. احتفظ بالإجابات دقيقة إلا إذا طُلبت أرقاماً عشرية؛ المصححون يطرحون النقاط عند استخدام أرقام عشرية مقربة حيث يُتوقع جذراً غير عشري. لـ ت有理化 المقام ، اضرب البسط والمقام في حد يزيل الجذر:

مثال محلول — تنسيح المقام. اكتب $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ بمقام نسبي.

• معلوم: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$، لذا اضرب في $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
  $$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
• تحقق بالحاسبة: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ و $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓

المعادلات التربيعية: المميز وإكمال المربع

الدالة التربيعية تأخذ الشكل $y = ax^2 + bx + c$؛ ورسمها البياني هو قطع مكافئ يفتح للأعلى ($a>0$) أو للأسفل ($a<0$). المميز $\Delta = b^2 - 4ac$ يُعدّ عدد الجذور:

• $\Delta > 0$: جذران حقيقيان مختلفان — المنحنى يقطع المحور $x$ مرتين،
• $\Delta = 0$: جذر مكرر واحد — المنحنى يمس المحور $x$،
• $\Delta < 0$: لا جذور حقيقية — المنحنى لا يلتقي أبداً مع المحور $x$.

إكمال المربع يعيد كتابة $ax^2+bx+c$ على شكل $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$، مما يعطيك نقطة الانعطاف $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ مباشرة. حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل، أو الصيغة، أو إكمال المربع، أو بالحاسبة — لكن أسئلة "أظهر جميع المراحل" ترفض الحل بالحاسبة فقط. الأسئلة ذات "المراحل" التي ترفض الحل الآلي الحاسوبي فقط.

مثال محلل — معادلة تربيعية خفية (معدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال10). المعادلة هي $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$، حيث $k$ ثابت.

(أ) بالنسبة لـ $k = 4.5$، أوجد الحلول الدقيقة.

• معلوم: عندما $k = 4.5$ تكون المعادلة $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$؛ اضرب في 2 للتخلص من الفواصل العشرية:
  $$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
• لماذا التعويض: $x^6 = (x^3)^2$، إذن هذه معادلة تربيعية بدلالة $x^3$. عوض $z = x^3$:
  $$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
• ارجع إلى $x$: $x^3 = -\tfrac17$ أو $x^3 = -1$، لذا
  $$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{\sqrt[3]{7}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
• تحقق: $z=-1$ تعطي $7-8+1 = 0$ ✓؛ $z=-\tfrac17$ تعطي $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓

(ب) أوجد مجموعة قيم $k$ التي يكون فيها للمعادلة جذور حقيقية.

• معلوم: تعامل مع المعادلة كتربيعية في $x^3$ بمعاملات $a = k-1$، $b = 4$، $c = k-4$. لا يوجد جذور حقيقية تحتاج إلى ممييز سالب:
  $$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$
  $$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
• تحقق: عند $k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓؛ عند $k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓؛ عند $k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (يوجد جذران حقيقيان هنا).

المعادلات والمتباينات المتزامنة

حل المعادلات المتزامنة تحليلياً عن طريق التعويض: أعد ترتيب المعادلة الخطية، وعوّضها في الأخرى، ثم حل، وأعد التعويض. التقاط خط بمنحنى يعطي معادلة تربيعية تكون جذورها إحداثيات التقاطع $x$ — وهذا هو "التفسير الهندسي للحلول الجبرية" الذي تطلبه المواصفة.

مثال محلول — تقاطع خط مع منحنى مكعب-مربع (مُعدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال7). $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ و$C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ يتقاطعان حيث

• فك الأقواس للطرفين: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
• تجميع الحدود: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$، ثم القسمة على $0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
• التحليل إلى عوامل: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$، إذن $x = 0, -8, 6$.
• أعِد التعويض في $C_2$: $(0, 0)$، $(-8, -153.6)$، $(6, 14.4)$.
• تحقق باستخدام $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ و $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓

المتباينات تتبع نفس القواعد الجبرية، لكن الإجابة تكون نطاقاً:

• حل $ax + b > cx + d$ بتجميع $x$ (تبقى علامة المتباينة كما هي عند الجمع والطرح، و تبقى عند القسمة على عدد موجب؛ أما القسمة على سالب فتعكس العلامة).
• حل $px^2 + qx + r \le 0$ برسم مخطط: الحل هو المنطقة التي يكون فيها المنحنى على أو تحت المحور، بين الجذور.
• متباينات "المنحنى تحت الخط" مثل $px^2+qx+r < ax+b$ تعني: أين ارتفاع المنحنى أقل من ارتفاع الخط؟ أوجد نقاط التقاطع أولاً.
• عند رسم منطقة الحل، استخدم خطاً متقطعاً للحدود الصارمة $<$ أو $>$ وخطاً متصلاً لـ $\le$ أو $\ge$.

مثال محلول. حل $x^2 < 3x + 10$.

• أعد الترتيب: $x^2 - 3x - 10 < 0$، وعوّله: $(x-5)(x+2) < 0$.
• المنحنى التربيعي $y = (x-5)(x+2)$ مفتوح للأعلى، لذا فهو أقل من الصفر بين جذريه:
  $$-2 < x < 5$$
• تحقق: $x = 0$ يعطي $0 < 10$ ✓؛ $x = 6$ يعطي $36 < 28$ ✗ (مستبعد بشكل صحيح).

كثيرات الحدود: فك الأقواس والتحليل

فك الأقواس واجمع الحدود المتشابهة؛ عوّله بإخراج العوامل المشتركة وبالترتيب. تُحلل مكعبات كثيرات الحدود كلياً بمجرد تحديد أحد جذورها: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. الرمز $f(x)$ يسمي الدالة، لذا $f(2)$ تعني "أعوض $x = 2$".

رسم المخططات والتحويلات

رسم مخطط (بدون تعيين نقاط) لعائلات هذه الدوال: التربيعيات والمكعبات البسيطة مثل $y = x^3 - 4x$؛ الدوال المقلوبة $y = \dfrac{k}{x}$ و$y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$)، والتي تمتلك مقارباً — وهو خط يقترب منه المنحنى ولا يلمسه أبداً؛ والرسوم البيانية المثلثية أدناه. عيّن نقاط التقاطع مع المحاور ونقاط الانعطاف.

تجيب نقاط التقاطع على المعادلات: تتقاطع المنحنيات $y = f(x)$ و$y = g(x)$ حيث $f(x) = g(x)$.

تحول واحد في كل مرة، مطبَّقاً على $y = f(x)$:

المعادلة الجديدة	ما تفعله بالبيانه
$y = a f(x)$	تمدد موازٍ لمحور $y$، معامل التمدد $a$
$y = f(x) + a$	إزاحة بمقدار $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (إزاحة لأعلى بمقدار $a$)
$y = f(x + a)$	إزاحة بمقدار $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (إزاحة لليسار بمقدار $a$)
$y = f(ax)$	تمدد موازٍ لمحور $x$، معامل التمدد $\dfrac{1}{a}$

مثال محلول — وصف تحولين (مُعدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال9).

• $y = \sqrt{2x}$ من $y = \sqrt{x}\,$: اكتب $\sqrt{2x} = f(2x)$، إذن هذا تمدد موازٍ لمحور $x$ بمعامل تمدد $\tfrac12$.
• $y = 12 - \sqrt{x}$ من $y = -\sqrt{x}\,$: اكتب $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$، وهو إزاحة بمقدار $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (لأعلى بمقدار 12).
• تحقق بنقطة: $y=\sqrt x$ تمر بـ $(4, 2)$؛ بعد التحول الأول تمر المنحنى بـ $(2, 2)$ (نصف $x$)، و$y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. بعد التحول الثاني، $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$، لذا $(4, 10)$ تقع عليه ✓.

الهندسة الإحداثية في المستوي (x, y)

خط يمر بـ $(x_1, y_1)$ بميل $m$ له المعادلة $y - y_1 = m(x - x_1)$؛ الشكل $ax + by + c = 0$ تخفي الميل في $-\dfrac{a}{b}$. نقطتان تعطيان الميل: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• الموازية: تتشارك المستقيمات المتوازية في نفس الميل: $m_1 = m_2$.
• التعامد: حاصل ضرب ميول المستقيمات المتعامدة يساوي $-1$: $m_1 m_2 = -1$.

مثال محلول — مستقيم عمودي يمر بنقطة الأصل (معدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال 5). المستقيم $l_1$ معادلته $x - 2y + 25 = 0$؛ بينما $l_2$ يمر بنقطة الأصل ويكون عمودياً على $l_1$.

(أ) معادلة $l_2$.

• معلوم: إعادة ترتيب $l_1$ لتصبح $2y = x + 25$، إذن $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ و$m_1 = \tfrac12$.
• السبب: حاصل ضرب ميول المستقيمات المتعامدة يساوي $-1$، إذن $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
  $$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$

(ب) يتقاطع $l_1$ و$l_2$ عند النقطة $P$.

• تعويض $y = -2x$ في $x - 2y + 25 = 0$:
  $$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
• $P = (-5, 10)$. التحقق في $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓

(ج) أقصر مسافة من $l_1$ إلى نقطة الأصل، بصيغة جذر مبسّط.

• أقصر مسافة هي $|OP|$ على طول المستقيم العمودي:
  $$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
• التحقق: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓

حساب المثلثات

قانون الجيب، وقانون جيب التمام، ومساحة المثلث

في المثلث $ABC$ مع الأضلاع $a, b, c$ المقابلة للزوايا $A, B, C$:

استخدم قانون الجيب للأزواج (ضلع، زاوية مقابلة)؛ وقانون جيب التمام عندما لا يوجد زوج مقابل. ينص قانون الجيب على وجود حالة غامضة: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$، لذا يمكن أن يكون لكل زاوية وزاوية مكملة لها حلان — تحقق مما يسمح به الرسم البياني. يمكن أن يتناسب معه كل من مكمله الزاوية — تحقق مما يسمح به الرسم البياني.

قياس الراديان وطول القوس ومساحة القطاع

الراديان الواحد هو الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر؛ $180° = \pi$ راديان. مع $\theta$ بالوحدات الراديانية:

طول القوس هو $s = r\theta$ ومساحة القطاع هي $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.

القطاع الكبير هو الجزء الأكبر من الدائرة: زاويته $2\pi - \theta$ عندما تكون الزاوية الصغيرة تساوي $\theta$.

مثال محلول — منصة هليكوبتر تتكون من قطاع كبير ومثلث (مُعدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال6). منصة الهبوط تمثل القطاع الكبير $AOB$ لدائرة مركزها $O$ متصلة بـ المثلث $AOC$: $AO = OB = 15$ م، $BC = 2$ م، $CBO$ خط مستقيم، والزاوية $ACO = 0.6$ الراديان.

(أ) أثبت أن الزاوية $COA = 1.847$ راديان مقربة إلى 3 خانة عشرية.

• المعطيات: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ م؛ في المثلث $AOC$، الضلع $AO = 15$ يقابل الزاوية المعطاة $0.6$، والضلع $OC = 17$ يقابل الزاوية $CAO$.
• قاعدة الجيب (اذكرها أولاً):
  $$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$
  $$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
• التحقق: مجموع الزوايا يساوي $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓

(ب) المساحة الكلية للمنصة.

• زاوية القطاع الكبير: $2\pi - 1.847 = 4.436$ راديان.
  $$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$
  $$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$
  $$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
• التحقق: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓

(ج) محيط المنصة.

• الحدود تتكون من القوس الكبير $AB$ بالإضافة إلى الضلعين $AC$ و$BC$.
  $$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
• قانون جيب التمام لـ $AC$ (اكتبه أولاً):
  $$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.9 = 653.9 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$
  $$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
• التحقق: $\cos 1.847 < 0$ (الزاوية منفرجة)، لذا فإن حد $-2bc\cos A$ يُضاف ✓

منحنيات الجيب وجيب التمام والظل

$y = \sin x$ و$y = \cos x$ تتكرر كل $2\pi$ ($360°$)؛ $y = \tan x$ يتكرر كل $\pi$ ($180°$) مع خطوط تقارب عند $x = 90° + 180°n$. اعرف التماثلات: $\cos$ دالة زوجية، $\sin(180° - x) = \sin x$، و$\tan x = \sin x / \cos x$. المنحنيات مثل $y = 3\sin x$، $y = \sin 2x$ و$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ تنبع من قواعد التحويل أعلى. حل المعادلات بيانياً بعدد نقاط التقاطع في فترة معينة.

مثال محلول — عدّ الحلول (مُعدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال4). بالنسبة لـ $y = 4\cos x$ مع $x$ بالدرجات: كم عدد حلول $5 + 4\cos x = 1$ لـ $-720° < x \le 720°$?

• أعد الترتيب: $4\cos x = -4$، إذن $\cos x = -1$، مما يعطي $x = 180° + 360°n$.
• في $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 حلول.
• تحقق: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓، و$5 + 4(-1) = 1$ ✓. الفترة نصف مفتوحة، لذا $x = -720°$ (حيث $\cos = 1$) مستبعدة بشكل صحيح.

الاشتقاق

المشتقة $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ هي ميل المماس إلى $y = f(x)$ عند نقطة — وهي نهاية ميل الوتر عندما تندمج النقطتان. إنها معدل التغير لـ $y$ بالنسبة لـ $x$. المشتقة الثانية $f''(x)$ تشتق مرة أخرى. (قاعدة السلسلة غير مطلوبة في P1.)

اخترع حدًا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة، مع فك الأقواس وتقسيم الكسور أولاً:

مثال محلول — شرط الميل على منحنى (معدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال 2). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$؛ النقطة $P$ على $C$ لها إحداثي $x$ يساوي $2^k$ والميل عند $P$ يساوي 16. أوجد $k$.

• اخترع (تنخفض الأسس بمقدار واحد): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
• ضع الميل مساوياً لـ 16 عند $x = 2^k$:
  $$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
• تحقق: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ و $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓

مثال محلول — المماس، ناظم، الشغل، والمشتقة الثانية (معدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال 8). منحنى له $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ ويمر عبر $P(4, 12)$؛ المماس عند $P$ هو $y = 10x + c$.

(أ) أثبت أن $k = \tfrac14$ وأوجد $c$.

• معلوم: ميل المماس يساوي $f'(4)$:
  $$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
• المماس يمر عبر $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
• تحقق: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ و $10(4) - 28 = 12$ ✓

(ب) $f''(x)$ عند $P$.

• التحقق: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓

التكامل

التكامل يعكس عملية التفرق: إذا $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$)، فإن

ثابت التكامل $c$ مطلوب — كل إزاحة رأسية تشترك في نفس المشتقة. ارفع كل أس بمقدار واحد، واقسم على الأس الجديد، وكمّل تكامل الحدود واحداً تلو الآخر بعد توسيع. عند معرفة $f'(x)$ ونقطة واحدة على المنحنى، أوجد $c$ واستعد $y = f(x)$ بدقة.

مثال محلول — وسّع قبل التكامل (مُعدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال3). أوجد $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.

• وسّع البسط: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$؛ والمقام هو $3x^{1/2}$.
• قسّم حدًا تلو الآخر (طرح أسس $x$):
  $$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
• تكامل كل حد (ارفع الأس بمقدار واحد، واقسم على الأس الجديد):
  $$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$
  $$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
• تحقق بالاشتقاق: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓، $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓، $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — عادت الدالة الأصلية للتكامل بدقة.

مثال محلول — استعد $f(x)$ من $f'(x)$ ونقطة (مُعدّل من Edexcel IAL WMA11 يونيو 2025 سؤال8، استمرار). مع $k = \tfrac14$، وبالتالي $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$، و $P(4, 12)$ على المنحنى:

• عوض بـ $P$: $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$، و$4^{3/2} = 8$:
  $$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
• تحقق: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓، والاشتقاق للإجابة يعطي $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$، إذن $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (ميل المماس من السابق).

قائمة التحقق قبل إكمال هذه الوحدة

• عدّل $a^{m/n}$ والأسس السالبة والجذور الجذرية بدقة، وأعد توحيد المقامات.
• اقرأ $b^2-4ac$ بثلاث طرق، وأكمل المربع المربعي، وحل المعادلات التربيعية المخفية بالتعويض.
• حل نظام معادلات خطية-تربيعية متزامنة بالتعويض وتفسيرها كنقاط تقاطع.
• حل ورسم المتباينات الخطية والتربيعية مع تحديد الحدود المنقطة/المتصلة بشكل صحيح.
• رسم الدوال التكعيبية والمقلوبات (مع خطوط التقارب) والمنحنيات المحولة، وتسمية الاتجاه والنوع ومعامل التوسع لكل تحويل مفرد.
• كتابة معادلات المستقيم بالصيغتين؛ استخدام $m_1m_2 = -1$ للمستقيمات العمودية.
• ذكر قاعدة الجيب وقاعدة جيب التمام و$\tfrac12 ab\sin C$؛ التعامل مع الحالة الغامضة والمجالات الرئيسية بالراديان.
• عد حلول المنحنيات المثلثية على فترة محددة قبل سردها.
• اشتقاق وتكامل $x^n$ حدًا تلو الآخر بعد فك الأقواس؛ أضف دائمًا $+c$.
• تحويل $f'(x)$ زائد نقطة واحدة إلى $f(x)$، والتحقق بالتعويض بالنقطة مرة أخرى.