P2 · Pure Mathematics 2

رياضيات بحتة 2 (P2) هي الوحدة الإلزامية الثانية في الرياضيات الدولية AS، و الرياضيات البحتة الدولية AS، وكلا مسارين من مسارات المستوى الدولي A. يغطي هذا المرجع كل موضوعات P2 في مواصفة Edexcel IAL (الإصدار 3، أبريل 2019): البرهان ونظرية العامل والباقي، وهندسة الدائرة، والمتتاليات والمتسلسلات، والدوال الأسية واللوغاريتمية، والمطابقات والمعادلات المثلثية، والنقاط الثابتة، والتكامل بما في ذلك المساحات و قاعدة شبه المنحرف. قاعدة شبه المنحرف.

• امتحان P2 (WMA12/01) مدته 1 ساعة و30 دقيقة وقيمته 75 علامة. يُفترض knowledge بـ P1 و معادلاتها قد يتم اختبارها في امتحان P2.
• تنطبق نفس قواعد الآلة الحاسبة وكتيب قوانين الرياضيات والجداول الإحصائية الصفراء كما هو مُطبَّق لـ P1. القوانين أدناه لا تظهر في الكتيب — احفظها.
• أسئلة "أظهر جميع مراحل عملك" ترفض الإجابات الآلية الآلية فقط؛ قدّم نتائج غير دقيقة الصيغ التي يجب أن تعرفها لـ P3 (من معلومات التقييم في المواصفة):

القوانين التي يجب أن تعرفها لـ P2 (من معلومات التقييم في المواصفة):

التبرهنة تسير من افتراضات معطاة عبر خطوات منطقية إلى استنتاج. تستخدم P2 ثلاث طرق:

• البرهان الجبري: البدء بما هو معطى، وتلاعب بالمتطابقات (وليس المعادلات للحل)، و
• نفي بالتناقض: مثال واحد يكسر الادعاء ينفيه.
• البرهان الجبري: ابدأ بما هو معطى، وعالج المتطابقات (وليس المعادلات للحل)، و انتهِ بالعبارة المستهدفة.

مثال محلول — الاستنفاء (معدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 Q10). أثبت أنه لكل الأعداد الصحيحة الموجبة $m$ التي ليست مضاعفات لـ 3، تكون قيمة $m^2 + 3m + 2$ دائمًا مضاعفًا لـ 3.

• قم بالتحليل أولاً: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• العدد الصحيح الموجب الذي لا يقبل القسمة على 3 هو إما $m = 3q + 1$ أو $m = 3q + 2$ — وهي كل الحالات، لذا فإن استنفائها يثبت الادعاء.
• حالة $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — مضاعف لـ 3.
• حالة $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — مضاعف لـ 3.
• كلا الحالتين تعطي مضاعفاً لـ 3، لذا $3 \mid m^2+3m+2$ whenever $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• تحقق: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓؛ $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓؛ $m = 4$: $30$ ✓؛ $m = 5$: $42$ ✓.

مثال محلول — مضاد. نفّذ: "$n^2 - n + 1$ عدد أولي لجميع الأعداد الصحيحة" $n \ge 2$."

• يكفي مثال مضاد واحد. جرّب $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$، وهو ليس عدداً أولياً.
• الادعاء خاطئ. تحقق من $n = 2,3,4$ لتعطي الأعداد الأولية $3, 7, 13$ — النمط صحيح في البداية، مما هو بالضبط سبب أن مثالاً مضاداً واحداً، وليس المزيد من الأمثلة، يحسم المسألة.

للدالة كثيرة الحدود $f(x)$:

• نظرية العامل: $(x - b)$ هو عامل لـ $f(x)$ إذا وفقط إذا $f(b) = 0$. بالنسبة لـ قواسم من الشكل $(ax - b)$: إذا $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ فإن $(ax - b)$ هو عامل.
• نظرية الباقي: عند قسمة $f(x)$ على $(ax - b)$ يتبقى باقٍ $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• القسمة الجبرية على $(ax \pm b)$ تعطي خارج قسمة وباقٍ؛ درجة الدالة تنخفض بمقدار واحد: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

مثال محلول — كلا النظريتين معاً (معدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 سؤال4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$، حيث $(x+3)$ هو عامل لـ $f(x)$ وعند قسمة $f(x)$ على $(2x - 1)$ يتبقى باقٍ 7.

(أ) أثبت أن $b = 3a + 2$.

• نظرية العامل: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(ب) أوجد $a$ و$b$.

• نظرية الباقي مع $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• عوض بـ $b = 3a + 2$: $a + 6a + 4 = 60$، إذن $a = 8$ و$b = 26$.
• تحقق: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$؛ $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ و $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(ج) القسمة والباقي عند قسمة $f(x)$ على $(x - 2)$.

• قسمة $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ على $(x-2)$: الناتج $8x^2 + 42x + 89$، والباقي $175$.
• تحقق بإعادة البناء: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

دائرة مركزها $(a, b)$ ونصف قطرها $r$ معادلتها

معطى الصيغة المفكوك $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$، أكمل المربع لاستعادة المركز $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ و$r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. يتم دراسة ثلاث خصائص للدائرة:

• الزاوية في نصف الدائرة زاوية قائمة;
• العمود من المركز على وتر ينصف الوتر;
• المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.

مثال محلول — نقاط نهاية القطر (معدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 السؤال2). المستقيم الواصل بين $(-2, 5)$ و$(4, 15)$ هو قطر للدائرة $C$.

(أ) معادلة $C$.

• المركز هو نقطة المنتصف: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• مربع القطر: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$، إذن $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• التحقق: كلا الطرفين يحققان المعادلة: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ و $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(ب) الإحداثيات الدقيقة للنقطة على $C$ الأقرب لمحور $x$.

• النقطة الأقرب تقع على نصف القطر الرأسي: نفس $x$ للمركز، و$r$ أقل منه:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• تحقق: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓، ولا يمكن أن يكون هناك $y$ أصغر لأن المركز يقع على ارتفاع $10 > \sqrt{34}$ فوق المحور.

يمكن تحديد متتالية بصيغة للحد رقم $n$ أو بعلاقة $x_{n+1} = f(x_n)$. وصفها بـ متزايدة، متناقصة أو دورية (من حدودها، لا من صيغتها).

المتتاليات الحسابية: فرق ثابت $d$.

يجب معرفة برهان صيغة المجموع (اكتب $S_n$ للأمام والخلف، ثم اجمع)، كما يجب $\Sigma$ كتابة الرموز.

المتتاليات الهندسية: نسبة ثابتة $r$.

يجب معرفة برهان صيغة المجموع (تلسكوبي $S_n - rS_n$). استخدم اللوغاريتمات لحساب $n$ عندما تُعطى قيمة حد ما.

فك القوس الثنائي لأس صحيح موجب $n$:

مثال محلول — متسلسلة هندسية مع لوغاريتمات (معدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 سؤال7). تبدأ متسلسلة هندسية $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(أ) المجموع إلى ما لا نهاية.

• $a = 10$، $r = 8/10 = 0.8$، و$|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(ب) الحد رقم $k$ أقل من 0.0005 — أوجد أصغر $k$ جبرياً.

• الحد رقم $k$ هو $10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• خذ اللوغاريتم (لوغاريتم عدد أقل من 1 يكون سالباً — احتفظ باتجاه المتباينة عند قسمتها عليه):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• إذن $k > 45.38$ وأصغر عدد صحيح هو $k = 46$.
• تحقق: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ لكن $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

مثال محلول — مجموع حسابي أقصى (مُعدّل من نفس السؤال). متسلسلة حسابية تبدأ $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). أكبر مجموع جزئي لها:

• الحدود تظل موجبة حتى $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$، لذا $n \le 122.4$؛ الحد رقم 122 هو $850 - 7(121) = 3 > 0$ والحد رقم 123 هو $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• تحقق: إضافة حد سالب 123 سيقلل المجموع، لذا $S_{122}$ هو الأقصى ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$، $a \ne 1$) تمر بـ $(0, 1)$ وتنمو بلا حدود لـ $a > 1$. الـ لوغاريتم $\log_a x$ يعكسها: $\log_a x = y$ تعني $a^y = x$. احفظ:

و$\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. حل $a^x = b$ باستخدام $x = \log_a b$ (قد يُستخدم تغيير الأساس). تحقق دائماً من المرشحين مع المجال: اللوغاريتمات تتطلب حجماً موجباً.

مثال محلول — معادلة لوغاريتمية (مُعدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 سؤال6). حل $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• اجعل كل طرف يساوي لوغاريتمًا واحدًا:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• الأعمدة المتساوية تعطي حدودًا متساوية:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• التحقق من المجال: $4 - x > 0$ يتطلب $x < 4$، لذا يتم استبعاد $x = 14$. $x = -2$.
• التحقق: الطرف الأيسر $= 2\log_2 6$؛ الطرف الأيمن $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

مثال محلول — نقطة التقاطع الدقيقة بصيغة $\log_3$ (نفس السؤال). المنحنيان $y = 3^{2x+1}$ و$y = 6 \times 3^x$ يتقاطعان عند $P$؛ اكتب $P$ على شكل $(\log_3 a, b)$.

• اجعلهما متساويين وحلّ $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, so $a = 2$, $b = 12$. Check: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

متطابقتان تحولان بين الجيب وجيب التمام والظل:

حلّ المعادلات المثلثية في مجال معطى بتبسيطها لدالة واحدة (غالبًا ما تكون مربعية خفية)، ثم قراءة الحل الثاني من تماثل الرسم البياني. حدد المجال، واعمل بوحداته (درجات أو راديان)، واستبعد القيم خارج النطاق.

مثال محلول — راديان وكسور دقيقة (مُعدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 سؤال8). حل $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ من أجل $0 \le x < \pi$.

• القسمة على 3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$، و $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• في $0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) و$x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Check: at $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ and $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

مثال محلول — مربعية خفية في جيب التمام (نفس السؤال). حلّ $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ لـ $0 \le \theta < 360°$.

• استبدل $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ واضرب في $\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• استخدم $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• الصيغة التربيعية في $\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• الجذر $-$ أقل من $-1$ (يُرفض)؛ يعطي $\cos\theta = 0.6385$ $\theta = 50.3°$، ومن تناظر جيب التمام، $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• تحقق: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓؛ كلا الزاويتين تقعان في الفترة ✓.

النقاط الثابتة تكون $\dfrac{dy}{dx} = 0$. صنفها بإشارة المشتقة:

• تتغير المشتقة من $+$ إلى $-$: عظمى;
• تتغير المشتقة من $-$ إلى $+$: صغرى;
• تساعد المشتقة الثانية: $f''(x) > 0$ عند النقطة يؤكد صغرى، $f''(x) < 0$ عظمى. القيمة العظمى المحلية.

الدالة تزايدية حيث $f'(x) > 0$ وتناقصية حيث $f'(x) < 0$. مسائل عملية — أقل مادة، أقل تكلفة — تُترجم إلى تصغير تعبير بدالة متغير واحد. مسائل عملية — أقل مادة، أقل تكلفة — تُترجم إلى تصغير تعبير بدالة متغير واحد.

ذات أطراف مثلث قائمة ساقاها 12 و2025 (أمتار)، وأضلاع مستطيلة 9 و$3x$، وسعتها $2x$. مساحة المعدن هي $3x \times L$. و $2x \times L$، والسعة $12\ \text{m}^3$. مساحة المعدن هي $S\ \text{m}^2$.

(أ) أثبت أن $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• الحجم: مساحة المقطع $\times$ الطول $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$، لذا $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• السطح: مثلثان زائد مستطيلين:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(ب) الحد الأدنى لـ $S$ باستخدام التفاضل.

(ج) برهن على وجود الحد الأدنى.

• المشتقة الثانية موجبة في كل مكان على المجال: النقطة الثابتة هي حد أدنى ✓.
• التحقق: عند $x = 1.1856$، $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

قدّر التكاملات المحددة باستخدام النظرية الأساسية للتكامل:

التكامل المحدد هو المساحة تحت المنحنى من $y \ge 0$. لمنطقة محدودة بمنحنى وخط، قم بالتكامل (الأعلى − الأسفل) بين نقاط تقاطعهما، مع التقسيم عند أي تغيير في ترتيبهما. تحقق من أي الرسم البياني يقع فوق الآخر.

مثال محلول — المساحة بين منحنى وخط (مُعدّل من Edexcel IAL WMA12 يونيو 2025 س3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) مع $P(1, 11)$ و$Q(4, 5)$ على $C$؛ أوجد المساحة بين $C$ والقطعة المستقيمة $PQ$.

• الخط $PQ$: الميل $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$، إذن $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• تحقق من $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• المساحة تحت الخط: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Area under the curve: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• مساحة المنطقة: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ وحدة مربعة.
• تحقق: الخط يقع فوق المنحنى طوال الفترة (عند $x = 2$: الخط $9$، المنحنى $3(2) + 4 - 8 = 2$)، لذا فإن طرح المنحنى من الخط هو الطريقة الصحيحة ✓.

قاعدة شبه المنحرف تقارب المساحة باستخدام $n$ أشرطة بعرض $h$:

تزيد عدد الأشرطة (أو استقامة المنحنى) دقة التقدير؛ والمنحنى الذي ينحني للأعلى (محدب، على شكل U مثل $x^2$) يترك كل وتر فوقه، مما يجعل القاعدة تُقدّر قيمة أكبر، بينما المنحنى الذي ينحني للأسفل (مقعّر، مثل $\sqrt x$ أو قوس دائرة) يترك الأترار أسفله، مما يجعل القاعدة تُقدّر قيمة أقل.

مثال محلول — قاعدة شبه المنحرف مع جدول. قدّر $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ باستخدام 4 أشرطة.

• أربعة أشرطة على $[1, 3]$ تعطي $h = 0.5$ وقيمًا خمسية لـ $y = \dfrac1x$: عند $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ تكون القيم $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• القيمة الحقيقية هي $\ln 3 = 1.099$ (3 رقم معنوي). التقدير هو تقدير زائد: $y = 1/x$ هو محدب (ينحني للأعلى)، لذا كل شريط مستقيم يقع فوق المنحنى ✓.

• صياغة البرهان؛ استخدم الاستنفاء في جميع الحالات؛ ونفي البرهان بمثال مضاد واحد.
• طبق نظريات العامل والباقي، بما في ذلك القسمة على $(ax - b)$، وأجرِ القسمة الجبرية مع المقام والباقي.
• أوجد مركز ونصف قطر الدائرة من أي من الصيغتين؛ واستخدم الخصائص الثلاث للدائرة.
• استخدم $a_n$، $S_n$ و$S_\infty$ للمتتاليات الحسابية والهندسية (إثباتا قانون المجموع). رمز $\Sigma$، والأدوال لإيجاد $n$.
• قم بفك $(a + bx)^n$ باستخدام معاملات ذات الحدين، ومطابقة المعاملات المعطاة.
• حل معادلات الأدوال باستخدام القوانين الثلاثة، والتحقق من المجالات؛ قدم التقاطعات بدقة كـ $(\log_a b, c)$ عند الطلب.
• بسّط المعادلات المثلثية باستخدام $\tan = \sin/\cos$ و$\sin^2 + \cos^2 = 1$؛ وحلها في درجات أو راديان حسب المعطيات، مع سرد جميع حلول الفترة.
• أوجد النقاط الثابتة وصنّفها؛ برّر ذلك بتغير الإشارة أو المشتقة الثانية؛ وأعد إعداد نموذج لتقليل دالة بمتغير واحد.
• احسب التكاملات المحددة؛ وأوجد المساحات تحت المنحنيات وبين المنحنى والخط؛ وطبق قاعدة الشبه منحرف من جدول وأحدد اتجاه الخطأ فيها.