من صفيحة جليدية إلى نجم
تشمل صفيحة جليدية، وجسر معلق، ونجم بعيد جميعها الطاقة. تربط هذه الوحدة الحركة الجزيئية، والتغيرات النووية، والاهتزازات، والملاحظات الفلكية. غالبًا ما يكون الهدف هو اختبار ادعاء، وليس مجرد حساب رقم: حدد النموذج، وحافظ على الوحدات أثناء الحساب، ثم قارن نتيجتك بالادعاء.
يغطي WPH15 العبارات 125–171 من Issue 3 من Pearson. كما يستخدم الوحدات 1، 2 و4. اعمل عبر sheets 5.1–5.9 قبل مجموعاتهما الأصلية المقابلة. استخدم الثوابت المقدمة بشكل متسق: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$، $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ و$G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ إلا إذا أعطت السؤال قيمة محلية مختلفة. هنا $k_B$ هو ثابت بولتزمان؛ يشير $k_s$ إلى ثابت الزنبرك.
التسخين، تغير الطور، وكالیبراسيون المقياس الحراري
اتبع الطاقة، ليس فقط درجة الحرارة
الطاقة الداخلية هي إجمالي الطاقة في الحركة العشوائية والتفاعلات الجزيئية: الطاقة الحركية العشوائية زائد طاقة الوضع بين الجزيئات. وهي تستبعد الطاقة الحركية للجسم بأكمله وهو يتحرك معًا. ترتبط درجة الحرارة بالطاقة الحركية العشوائية المتوسطة للجزيئات، وليس إجمالي الطاقة الداخلية. يمكن أن يكون لعينتين عند نفس درجة حرارة طاقات داخلية مختلفة بسبب اختلاف كمياتهما وحالاتهما.
السعة الحرارية النوعية $c$ هي الطاقة اللازمة لكل كيلوجرام لارتفاع درجة حرارة قدره واحد كلفن دون تغير في الحالة. حرارة التغير الطوري النوعية $L$ هي الطاقة المنتقلة لكل كيلوجرام خلال تغير طوري معين عند درجة حرارة ثابتة.
يساوي فرق درجات الحرارة $1\ ^\circ\mathrm C$ فرقًا قدره $1\ \mathrm K$. يجب أن تكون درجات الحرارة المطلقة في قوانين الغازات والإشعاع بالكلفن. أثناء الانصهار أو الغليان، تتغير الطاقة ترتيبات الجزيئات وطاقة الوضع بينما تظل درجة الحرارة ثابتة في تغير الطور المثالي ذات الضغط الثابت. تمتص الصفيحة الجليدية الطاقة من الطعام/المحيط عندما تنصهر. إنها لا ترسل "طاقة البرد" إلى الطعام.
عند قدرة تسخين ثابتة، تعني الانحدارات الأكبر للدرجة الحرارة-الزمن قيمًا أصغر لـ $mc$، شريطة أن تكون فقدان الحرارة ضئيلًا. لا يعني الجزء المسطح توقف نقل الطاقة. بالنسبة للمسخّن، الطاقة المدخلة هي $E_{\rm in}=Pt=VIt$؛ يمكن أن تكون الطاقة الحرارية المفيدة أقل لأن الطاقة تهرب إلى المحيط.
مثال محلول. كتلة $0.40\ \mathrm{kg}$ من الثلج عند درجة حرارة $-10\ ^\circ\mathrm C$ تنصهر إلى ماء عند درجة حرارة $0\ ^\circ\mathrm C$. استخدم $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ و$L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
معروف: الكتلة، ودرجات الحرارة الابتدائية والنهائية وثوابت المادة. السبب: تدفئة الصلب وانصهاره هما نقلان منفصلان للطاقة.
مثال محلول. سخّان $1000\ \mathrm W$ يغلي $0.20\ \mathrm{kg}$ من الماء في زمن $600\ \mathrm s$. أوجد الكفاءة، باستخدام $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
لأحمال الغلاية المتكررة، احسب الحجم الكلي للماء وعدد الأحمال ووقت التشغيل الإجمالي. قارن الطاقة خلال نفس الفترة المحددة. الفقد في وضع الاستعداد خلال اليوم والمدخلات اللازمة لغليان الماء كميات مختلفة؛ بيّن ما الذي تثبته المقارنة الفعلية.
CP12: معايرة منظم حرارة
لـ المقاومة الحرارية (Thermistor) مقاومة تتغير مع درجة الحرارة. تنخفض عادةً مقاومة المقاومة الحرارية ذات معامل درجة الحرارة السالب (NTC) عند تسخينها. في مقسم الجهد:
عما كانت المقاومة الحرارية هي المقاومة السفلية وتم قياس الخرج عبرها، فإن التسخين يقلل جهد الخرج. وعكس مواقع المقاومات يعكس هذا الاتجاه. يتحول منظم الحرارة عند عتبة خرج محددة؛ ومقسم الجهد وحده ليس جهاز تبديل كاملًا.
للتجربة الأساسية 12، ضع المقاومة الحرارية ودرجة الحرارة المرجعية قريبين بعضهما في حمام ماء مُحرَّك. حافظ على تلامسات كهربائية جافة ومعزولة. عند عدة درجات حرارة عبر النطاق المقصود، انتظر الوصول إلى التوازن الحراري وسجل درجة الحرارة وجهد مقسم الجهد. حافظ على جهد المصدر والمقاومة الثابتة دون تغيير. استخدم فولتميتر عالي المقاومة الداخلية لتقليل التحميل. ارسم الخرج مقابل درجة الحرارة واستنتج الجهد لدرجة حرارة التبديل المختارة. أعد القراءات أو قارن بين التسخين والتبريد لكشف التأخر. لا تفترض معايرة خطية بدون دليل. استخدم الكهرباء منخفضة الجذر واحذر من الماء الساخن.
CP13: قياس الحرارة الكامنة
مدد قدرة كهربائية مقاسة للمادة أثناء تحول طورها. قسّ الكتلة المذابة أو المبخرة خلال فترة زمنية بعد استقرار الظروف. يزن الميزان التغير في الكتلة؛ لا تخلط بين حجم السائل المجموع والكتلة. بدون تصحيح الفقد، يفترض $L=VIt/\Delta m$ أن كل الطاقة المزودة تسبب تحول الطور.
تصحيح مفيد هو مقارنة قوتين عند نفس درجة حرارة تحول الطور المستقرة. إذا كان معدل فقدان الحرارة غير متغير تقريبًا، فإن طرح القياسين يلغيه:
بيّن افتراض ثبات الفقد. يعد قياس التحكم للذوبان بدون سخّان تصحيحًا محتملاً آخر في تجربة الثلج المناسبة. قلل فقدان الحرارة بالعزل حيث يكون ذلك آمنًا؛ تجنب الرذاذ والأسطح الساكنة والوصلات الكهربائية غير الآمنة.
الغازات المثالية والطاقة الحركية للجزيئات
كلفن ونموذج الغاز المثالي
الصفر المطلق هو $0\ \mathrm K$، حوالي $-273\ ^\circ\mathrm C$. إنه الحد الأدنى لدرجة الحرارة الديناميكية الحرارية. في نموذج الغاز المثالي الكلاسيكي، تميل متوسط الطاقة الحركية الانتقالية إلى الصفر عندما تميل درجة الحرارة إلى الصفر. تتكثف الغازات الحقيقية قبل الوصول إلى هذا الاستنتاج؛ لا تدعي أن جزيئات كل مادة حقيقية تفقد كل طاقتها الممكنة.
تُقاس درجة الحرارة المطلقة بالكلفن: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ بدقة مستخدمة عادةً هنا. يتكون الغاز المثالي من جسيمات ذات حجم مهمل، ولا قوى بين جزيئية إلا أثناء التصادمر المرنة، وحركة عشوائية. ينشأ الضغط من تغير الزخم عند الجدران.
هنا $N$ هو عدد الجزيئات، وليس عدد المولات. استخدم الضغط بالباسكال والحجم بالمتر المكعب ودرجة الحرارة بالكلفن. لعدد ثابت من الجزيئات:
عند حجم ثابت، يتناسب الضغط طرديًا مع درجة الحرارة بالكلفن. عند درجة حرارة ثابتة، $pV$ ثابت. أدر الضغط الخارجي إذا أقرّ العداد ضغطًا نسبيًا بالنسبة للغلاف الجوي.
مثال محلول. يحتوي وعاء صلب $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ على غاز عند $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ و$300\ \mathrm K$. أوجد $N$ والضغط بعد التسخين إلى $360\ \mathrm K$.
إذا كانت كتلة جزيء واحد $m_0$، فإن كتلة الغاز الكلية هي $Nm_0$. بالنسبة لكرة، أوجد أولاً $V=4\pi r^3/3$؛ نصف القطر هو نصف القطر.
اشتقاق علاقة طاقة الجزيئات
علاقة ضغط النظرية الحركية هي $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$، حيث $\langle c^2\rangle$ هي متوسط مربع السرعة. وينتج عن تغير الزخم المرن عند جدار ومتوسط حركة مربعة متساوية في الاتجاهات الثلاثة المتعامدة. جذر متوسط مربع السرعة هو $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$؛ وهو ليس مربع متوسط السرعة.
لمكعب طول ضلعه $l$، تتغير زخم الجدار لجزيء واحد بمقدار $2m_0c_x$ عند كل تصادم مرن، حيث يتكون المركبة السرعة $c_x$. زمن عودته إلى نفس الجدار هو $2l/c_x$. وبالتالي فإن قوته المتوسطة هي $m_0c_x^2/l$. اجمع على جميع الجزيئات واقسم على مساحة الجدار $l^2$:
الحركة العشوائية موزعة بالتساوي بين الاتجاهات المتعامدة، لذا $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. هذا يعطي العلاقة أعلاه للضغط. ساوِ التعبيرين لـ $pV$، واختصر $N$، ثم أعد الترتيب:
عند درجة حرارة معينة، تمتلك أنواع الغاز المختلفة طاقات حركية انتقالية متوسطة متساوية، لكن الجزيئات الأخف يكون لها سرعات جذرية متوسطة أكبر. إذا تضاعفت السرعة عند نفس درجة الحرارة، فإن كتلة الجزيء تصبح ربعها. زيادة الحرارة ترفع الطاقة الحركية الجزيئية المتوسطة؛ لكنها لا تمنح كل جزيء نفس السرعة.
CP14: الضغط والحجم عند درجة حرارة ثابتة
اسحب كمية ثابتة من الغاز في حقنة أو أسطوانة مدرجة متصلة بمستشعر ضغط. تحقق من المعاينة واستخدم الضغط المطلق. قم بتضمين حجم الأنبوب الميت المتصل إذا كان كبيراً. غيّر الحجم تدريجياً، وانتظر بعد كل تغيير ليعود درجة الحرارة إلى درجة حرارة المحيط، ثم سجل عدة أزواج من الضغط والحجم. لا تدع الغاز يتسرب. يجب أن يكون الرسم البياني لـ$p$ مقابل $1/V$ خطاً مستقيماً يمر بالمبدأ ضمن عدم اليقين. منحنى $p$–$V$ ليس مستقيماً. تجنب الضغط الزائد وتأكد من اتصال الأسلاك. الانضغاط السريع يسخّن الغاز ويخالف شرط ثبات درجة الحرارة المقصود.
طاقة الربط، الانشطار والاندماج
العجز الكتلي هو فرق في الطاقة
تحتوي النواة على $Z$ بروتون و$A-Z$ نيوترون. كتلتها أقل من مجموع كتل هذه النيوكليونات الحرة. هذا العجز الكتلي يقابل طاقة الربط اللازمة لفصل النواة كلياً إلى نيوكليونات حرة:
هنا $c_0$ هي سرعة الضوء، المميزة عن السعة الحرارية النوعية. الوحدة الذرية الموحدة هي $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. حول جميع الكتل إلى نفس الوحدة قبل طرحها. كتل النوى وكتل الذرات المتعادلة ليست قابلة للتبديل دون حساب الإلكترونات بشكل متسق. استخدم الكتل التي توفرها السؤال فعلياً.
مثال محلول. نواة لديها عجز كتلي $0.030\ \mathrm u$ و$A=4$. أوجد طاقة الربط لكل نيوكليون.
لماذا يمكن لكلا من الاندماج والانشار إطلاق الطاقة
يرتفع منحنى طاقة الربط لكل نيوكليون بشكل حاد للنوى الخفيفة، ويصل إلى ذروته بالقرب من الحديد/النيكل، ثم ينخفض تدريجياً للنوى الثقيلة. طاقة الربط الأعلى لكل نيوكليون تعني عادةً أن النيوكليونات مرتبطة بشدة أكبر. القيمة العمودية، وليس مجرد العدد الكتلي، هي ما يهم عند مقارنة النقاط.
الاندماج النووي يدمج النوى الخفيفة. الانشطار النووي يفكك نواة ثقيلة إلى منتجات أصغر، غالباً مع نيوترونات. تُطلق الطاقة عندما تكون الطاقة الكلية للربط للمنتجات أكبر والكتلة الساكنة الكلية أقل من المتفاعلات. بالنسبة للتفاعل، احسب الفرق الكتلي الإجمالي، وليس فقط الفرق بين قيمتين لكل نيوكليون. الطاقة الكلية محفوظة.
الاندماج يحتاج إلى درجات حرارة عالية جداً لإعطاء النوى طاقة حركية كافية لتقارب بعضها رغم التنافر الكهروستاتيكي، وكثافة/احتواء عاليين لإجراء عدد كافٍ من اللقاءات القريبة والاستمرار في إطلاق الطاقة. للحرارة والكثافة أدوار مختلفة. مجرد ذكر "ضغط عالٍ" لا يفسر التغلب على التنافر.
الإشعاع، الخلفية والتحلل
اختر الإشعاع بناءً على تفاعله
الإشعاع ألفا يتكون من نويات الهيليوم: مؤين بشدة، قصير المدى ويتوقف بواسطة الورق أو بضعة سنتيمترات من الهواء. الإشعاع بيتا يتكون من إلكترونات أو بوزيترونات: أقل تأييناً، أكثر اختراقاً، ويتوقف عادةً بواسطة بضعة ملليمترات من الألمنيوم. الإشعاع جاما هو إشعاع كهرومغناطيسي: ضعيف التأيين وعالي الاختراق؛ الرصاص أو الخرسانة تقلل شدته لكن لا يوفر سُمك توقف حاد.
في غرفة الغيوم، مسارات ألفا سميكة بشكل رئيسي بسبب التأيين القوي، ومستقيمة نسبياً لأن الجسيمات ذات كتلة كبيرة مقارنة بجسيمات بيتا. مسارات بيتا أرق وتتنحى بسهولة أكبر. لا تقم بتبديل هذه التفسيرات. يمكن للإشعاع بيتا مراقبة سماكة الورق لأن بعض الجسيمات تمر عبر والبعض الآخر يُمتص؛ التغيير في السماكة يغير معدل العد المنقول.
في المعادلات النووية، احفظ عدد النوكليونات وعدد الشحنة. يحول اضمحلال بيتا سالب نيوترونًا إلى بروتون؛ يبقى العدد الكتلي ثابتًا ويزيد العدد الذري بمقدار واحد. أدرج المضاد النيوترينو عند اللزوم، كما في الوحدة 4:
يقلل الاضمحلال ألفي $A$ بمقدار أربعة ويقلل $Z$ بمقدار اثنين. لا يغير الانبعاث غاما ولا $A$ ولا $Z$. تحافظ المعادلات النووية على أكثر من هذين العددين: الطاقة والزخم لا يزالان مهمين.
خلفية صحيحة قبل تطبيق نموذج
الإشعاع الخلفي ينبع من مصادر مثل الصخور والأشعة الكونية والبيئة. قسه لفترة كافية مع غياب مصدر الاختبار. اطرح معدل عده من كل قراءة لمصدر بالإضافة إلى الخلفية. حافظ على وحدات وقت العد متسقة. يكون معدل عداد المصحح متناسبًا فقط مع نشاط المصدر عندما تظل الهندسة وكفاءة الكشف دون تغيير؛ وليس تلقائيًا النشاط بوحدة البكريل.
مثال محلول. يسجل كاشف $62\ \mathrm{min^{-1}}$ عند مسافة $r$، بما في ذلك الخلفية $14\ \mathrm{min^{-1}}$. تنبأ بمعدل إجمالي عند $2r$ لمصدر جاما صغير متجانس الاتجاه مع امتصاص ضئيل.
لا تقسم الخلفية على أربعة: ليس كل منها يأتي من مصدر الاختبار.
أحداث عشوائية، مجاميع قابلة للتنبؤ
التحلل الإشعاعي عملية تلقائية: ينحل نواة غير مستقرة بدون مؤثر خارجي. وهو عشوائي: لا يمكن التنبؤ بالوقت الدقيق لنواة فردية. لدى عدد كبير من النوى نمط تحلل إحصائي قابل للتنبؤ به. النشاط $A$ هو عدد التحللات في الثانية، ويقاس بـالبكريل، $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.
ثابت التحلل $\lambda$ هو الاحتمال لكل وحدة زمن لتحلل النواة. نصف العمر $t_{1/2}$ هو الزمن اللازم لتقلص عدد النوى غير المتحللة، أو النشاط، إلى النصف في المتوسط.
عند نصف عمر واحد، $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. بأخذ اللوغاريتمات نحصل على:
خط نشاط-زمن لوغاريتمي له ميل $-\lambda$. خذ اللوغاريتمات للمعدلات المصححة، وليس قراءات المصدر والخلفية. اقرأ عدة فترات نصف عمر من الرسم البياني وأحسب متوسطها؛ قِس من مستوى النشاط المصحح، وليس من مجموع العدادات الصفرية.
مثال محلول. لديه مصدر نصف عمره $3.0\ \mathrm{years}$. متى سينخفض النشاط إلى $2.0\%$ من قيمته الابتدائية؟
استخدم كسراً، ولا تستخدم $2.0$ داخل اللوغاريتم. عند حساب القدرة من مصدر مشع، $P=A E_{\rm decay}$، مع الطاقة لكل تحلل بالجول. هذه هي القدرة النووية المنطلقة؛ قد يكون المخرج الكهربائي المفيد أقل. حوّل نصف العمر إلى ثوانٍ عندما يجب أن يكون النشاط بالبكريل.
CP15: امتصاص إشعاع جاما بواسطة الرصاص
حافظ على وضع ثابت للمصدر والممتص والكاشف. قِس الخلفية، ثم العدادات على فترات معلومة ومتساوية لعدة سماكات رصاص كلية. كرر أو مدد وقت العد لأن العدادات تتذبذب. اطرح معدل الخلفية قبل مقارنة النفاذية. إذا أعطت كل سماكة مساوية نفس التناقص النسبي، فإن التوهيم أسي؛ يكون رسم بياني للوغاريتم المعدل للمعدل مقابل السماكة تقريباً مستقيماً. ثلاث سماكات نصف قيمة تنفذ $1/8$، وليس $1/3$.
ثابت امتصاص المادة ليس ثابت تفكك الزمن للمصدر. تجنب القراءات القريبة جدًا من الخلفية، حيث يعطي الطرح عدم يقين نسبي كبير. تعامل مع المصادر بالأدوات المحددة تحت الإشراف، حافظ على المسافة، قلل وقت التعرض وأعدها إلى الحواجز. لا تلمس المصدر أبدًا أو وجهه نحو الناس. حافظ على نظافة التعامل مع الرصاص واغسل يديك.
الحركة التوافقية البسيطة، الرسوم البيانية والطاقة
شرط الاستعادة
الحركة التوافقية البسيطة (SHM) تحدث عندما تكون التسارع المحصل متناسبًا مع الإزاحة عن موضع توازن ثابت وموجهًا نحوه:
الإشارة السالبة تمثل الاتجاه المسترد. السرعة الثابتة أو التكرار وحدهما، أو مجرد قوة تشير نحو مركز، لا يثبتان حركة تذبذبية بسيطة. بالنسبة لنابض معلق عموديًا، قس $x$ من موضع الاتزان المحمل. الوزن متوازن بالفعل هناك؛ والمحصلة للإزاحة هي $-k_sx$.
لإطلاق الحركة من أقصى إزاحة موجبة عند $t=0$:
هنا $A_0$ هو السعة، وليست النشاط الإشعاعي. تعتمد الطور على وقت البداية المختار؛ ويمكن لمعادلة الإزاحة الجيبية وصف نفس الحركة باستخدام أصل زمني مختلف. اشتق بيانيًا: ميل منحنى الإزاحة–الزمن هو السرعة، وميل منحنى السرعة–الزمن هو التسارع. عند أقصى إزاحة، تكون السرعة صفرًا والتسارع يشير عائدًا نحو وضع الاتزان. عند وضع الاتزان، تكون السرعة أعظمية والتسارع يساوي صفرًا.
مثال محلول. يعطي الرسم البياني سعة $0.030\ \mathrm m$ ودورة $0.50\ \mathrm s$. أوجد أكبر سرعة وأكبر تسارع.
أو يمكن إيجاد أكبر سرعة من مماس لمنحنى الإزاحة عند وضع الاتزان. حوّل السنتيمترات إلى أمتار. الميل المستقيم السالب لـ $a$–$x$ هو $-\omega^2$، لذا خذ سالبه قبل الجذر التربيعي.
الفترات والطاقة
لكتلة على نابض مثالي ولنواس بسيط بزوايا صغيرة:
طول النواس هو المسافة من نقطة التعليق إلى مركز الثقل. لا تعتمد دورة الزوايا الصغيرة على كتلة ثقل النواس. نسبة دورات لنابض واحد غير متغير تعطي $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. استخدم الكتلة الكلية الجديدة قبل إيجاد الكتلة المضافة.
مثال محلول. كتلة $0.50\ \mathrm{kg}$ لها فترة $0.80\ \mathrm s$. تضيف كتلة إضافية فتزداد الفترة إلى $1.00\ \mathrm s$ على نفس الزنبرك.
بالنسبة لمهتز نابض غير مخمد، تنتقل الطاقة بين مخازن الطاقة الكامنة المرنة والحركية:
وبالتالي يكون منحنى $E_k$–$x$ قطعًا مكافئًا معكوسًا: صفرًا عند $\pm A_0$، وأعلى قيمة موجبة عند $x=0$. منحنى $E_p$–$x$ مفتوح لأعلى. مجموعهما ثابت في النموذج غير المخمد. في النظام المخمد تُفقد الطاقة، فتقل السعة. تبقى الطاقة الكلية بما فيها المحيط محفوظة.
CP16: استنتاج كتلة مجهولة من الرنين
حافظ على نفس نظام النابض/الدعم. اربط عدة كتل معلومة، وحرّكه بتذبذبات صغيرة وغيّر التردد لإيجاد أكبر سعة مستقرة لكل كتلة. سجل تردد الرنين، مع تكرار القياس ببطء حول كل ذروة. مع تخميد خفيف، يقارب هذا التردد التردد الطبيعي. ارسم $1/f^2$ مقابل الكتلة المعلومة الكلية؛ يعطي نموذج النابض ميل $4\pi^2/k_s$. استخدم المعايرة لاستنتاج كتلة مجهولة من ترددها الرنيني.
اعتمد حمل الأثقال، وفي حال كان ذلك مهمًا، الكتلة الفعالة المتحركة للنابض. قد يمثل تقاطع الصفر غير الصفري هذا التأثير؛ فلا تجبر الخط على المرور بنقطة الأصل دون تبرير. حافظ على السعات صغيرة وأقل من الحد المرن. ثبت الأثقال والرف، وابقِ القدمين بعيدتين عن المنطقة. قياس الفترات الحرة يمكن أن يوفر مقارنة مستقلة مفيدة، لكن التطبيق العملي المحدد يستخدم ترددات الرنين.
الاهتزازات القسرية والرنين والتخميد
الاهتزاز الحُر يتبع اضطرابًا أوليًا دون قيادة دورية مستمرة. الاهتزاز المُقدَّم يُحافظ عليه بواسطة قوة دافعة دورية؛ وتردده المستقر هو تردد القوة الدافعة. التردد الطبيعي هو تردد الاهتزاز الحر للنظام تحت الظروف المذكورة.
الرنين يحدث عندما يكون تردد القيادة مساويًا للتردد الطبيعي أو قريبًا منه، مما يؤدي إلى نقل فعال للطاقة وسعة مستقرة كبيرة. لا يعني ذلك "أعلى تردد". بالنسبة لنظام مخمد بخفة، تكون ذروة السعة قريبة من التردد الطبيعي غير المخمد. التخامد الأكبر يخفض الذروة ويوسعها؛ لا تقدم كل ذروة مخمدة أنها تقع تمامًا عند التردد الطبيعي غير المخمد.
التخميد ينقل الطاقة بعيدًا عن الاهتزاز، على سبيل المثال عبر شغل مقاوم يزيد الطاقة الحرارية للمخمدات والمحيط. التشوه اللدني للمادة المطيلية يمتص أيضًا الطاقة الميكانيكية بشكل لا عكسي؛ بينما يعيد التشوه المرن البحت الطاقة المخزنة وهو ليس نفس الآلية.
شرح محلول. المشي على الجسر يُنشئ قوة دافعة دورية. إذا كان تردده قريبًا من تردد طبيعي، تنتقل الطاقة بكفاءة إلى الجسر وتزداد السعة. تقوم الكوابح بعمل ضد الحركة، وتنقل طاقة الاهتزاز إلى مخازن حرارية، مما يحد من السعة المستقرة. اربط السبب والنتيجة بهذا الترتيب بدلاً من سرد “الرنين، الطاقة، الكبح” بشكل منفصل.
لنفس الشكل والسعة، إضافة كتلة إلى بندول خفيف تزيد طاقته الميكانيكية المخزنة بينما يبقى الزمن الدوري المثالي للزوايا الصغيرة دون تغيير. تحت خسائر مقاومة مقابلة، قد يفقد جزءًا أصغر من الطاقة لكل دورة. لا يثبت هذا المقارنة السياقية للكبح أن كل متذبذب أثقل يخفّ ببطء دائمًا.
الحقول الجاذبية والمدارات
للحقل والجهد دلالات مختلفة
الحقل الجاذبي هو منطقة تتعرض فيها الكتلة لقوة. شدة الحقل الجاذبي $g=F/m$ هي القوة لكل وحدة كتلة اختبار. وهو متجه يشير نحو كتلة مصدر معزولة. قانون نيوتن للكتل النقطية، أو خارج مصدر كروي متماثل، هو:
$r$ هي المسافة بين المركزين، وليس الارتفاع فوق السطح. للحركة المحلية القريبة من الأرض، يمكن اعتبار $g$ ثابتًا مناسبًا. عند مسافات شعاعية كبيرة، ليس ثابتًا.
الجهد الجاذبي هو طاقة الوضع لكل وحدة كتلة، بصفر عند اللانهاية:
الجهد كمية قياسية وسالبة عند مسافة محدودة. التحرك للخارج يجعله أقل سلبية، فتزداد طاقة الوضع بينما تضعف القوة الجذابة. قيمة الرسم البياني للجهد ونقطة نصف القطر المقابل تعطي $M=-Vr/G$.
الحقول الجاذبية والكهربائية كلاهما شعاعية للمصادر النقطية المعزولة وقوىها تتبع قوانين مربع العكس. الجاذبية تؤثر على الكتلة وهي جاذبة في هذا النموذج. القوة الكهربائية تؤثر على الشحنة وقد تجذب أو تنفر. اتجاه الحقل الكهربائي يتبع القوة على شحنة اختبار موجبة؛ الشحنة السالبة تُدفع في الاتجاه المعاكس.
مثال محلول. قمر اصطناعي $1000\ \mathrm{kg}$ ينتقل من نصف قطر $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ إلى $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ حول الأرض، $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. أوجد تغير طاقته الكامنة.
الإشارة الموجبة هي النهائية ناقص الابتدائية. هذه ليست إجمالي طاقة الإطلاق، حيث قد تتغير أيضًا الطاقة الحركية. $mg\Delta h$ مع $g$ سطح ثابت غير مناسب على هذا المسافة.
اشتقاق مدار دائري
القوة الجاذبية توفر المحصلة الداخلية:
تختزل كتلة المدار. يزداد الزمن الدوري مع نصف القطر. ليبدو قمرًا صناعيًا ساكنًا فوق نقطة واحدة على كوكب دوار، يحتاج إلى مدار دائري استوائي، نفس اتجاه الدوران، وسرعة زاوية/زمن دوري مطابق. مجرد تطابق الزمن الدوري غير كافٍ.
مثال محلول. لـ $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ وزمن دوري $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$، أوجد نصف قطر المدار الساكن.
اطرح نصف قطر الكوكب فقط إذا طُلب الارتفاع فوق السطح. لحقل سطح نجم، استخدم نصف قطره، وليس قطره المدرج؛ اختبر ادعاء مضاعف حقل الأرض بحساب النسبة.
إشعاع النجوم والمسافات والتطور
درجة الحرارة، الوضوح، والشدة المستلمة
الجسم الأسود يمتص جميع الإشعاعات الكهرومغناطيسية الساقطة وهو مٌشع حراري مثالي. طيفه المستمر له شكل مميز. زيادة درجة الحرارة تزيد القدرة الكلية المنبعثة لكل وحدة مساحة وتحرك ذروة الطول الموجي نحو الأطوال الموجية الأقصر. يمثل المساحة تحت منحنى الكثافة الطيفية الشدة الكلية فقط بتعريف محور الطيف المناسب.
اللمعان $L_\star$ هو القدرة الكلية المنبعثة. الشدة $I$ المستقبلة عند مسافة $d$ هي القدرة لكل وحدة مساحة استقبال. لنجم كروي أسود من نصف قطر $R$ يشع بالتساوي في جميع الاتجاهات:
المساحة الأولى هي سطح الانبعاث؛ والثانية هي كرة الاستقبال المتوسعة. لا تعوض عن مسافة المراقب بمساحة سطح النجم. قد لا تكون المصادر الحقيقية أجسامًا سوداء مثالية، وقد تمتص المواد intervening الإشعاع.
ثابت فين المذكور يصف طيفًا لكل وحدة طول موجي. لا يتحول الحد الأقصى لطيف مرسوم لكل وحدة تردد إلى ذلك الحد الأقصى الطولي ببساطة عن طريق استبدال $\lambda$ بـ $c_0/f$. إذا أعطى الامتحان التردد المقابل لقمته الطولية المحددة، فحول ذلك الطول الموجي المعطى باستخدام $c_0=f\lambda$. لا تحوّل تلك المهمة المحددة إلى قاعدة عامة لكل رسم طيفي.
مثال محلول. يبلغ ذروة طيف طول موجي لنجم $580\ \mathrm{nm}$ ونصف قطره $7.0\times10^8\ \mathrm m$. أوجد درجة الحرارة واللمعان والشدة عند $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.
احتفظ بدرجة الحرارة غير المقربة لأنها مرفوعة للأس الرابع. قارن الشدة المستقبلة مع المرجع المذكور قبل قبول ادعاءات درجة حرارة الكوكب أو الطاقة.
طريقتان للمسافة
التزيح المثلثي يقيز الانزياح الزاوي الظاهري لنجم قريب مقابل نجوم خلفية بعيدة أثناء دوران الأرض حول الشمس. تُستخدم الرصدات على بُعد ستة أشهر مع خط أساس يساوي ضعف نصف قطر مدار الأرض. زاوية التزيح $p$ هي نصف الإزاحة الكلية. بالنسبة للزوايا الصغيرة $p$ بالراديان، المسافة تساوي $d\approx r_{\rm orbit}/p$. الفرسخ هو المسافة التي تعطي تزيحًا قدره $1$ ثانية قوسية؛ $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. لا تستخدم قطر الأرض أو الشمس كخط أساس للمدار.
على مسافات كبيرة، يصبح $p$ صغيرًا جدًا بحيث لا تستطيع الأداة قياسه بدقة. القيد يكمن في الدقة الزاوية/عدم اليقين النسبي، وليس بالضرورة أن النجم غير مرئي.
العش القياسي هو جسم ذو لمعان معروف. حدد واحدًا في عنقود، وقياس الشدة المستقبلة واستخدم $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. لا يُفترض أن يكون سطوعه الظاهر معروفًا مسبقًا. للنجوم المتغيرة السيبويد علاقة معايرة بين الفترة واللمعان. قِس عدة دورات كاملة لمنحنى الضوء، واقسمها على عددها، واقرأ المعايرة بعناية وحول أي وحدات لمعان شمسي. الخط المستقيم على المحاور اللوغاريتمية ليس تلقائيًا علاقة خطية بين الكميات الخام.
مثال محلول. عش قياسي له $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ وشدة مستقبلة $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.
اقرأ مخطط هرتزن-راسل
يرسم مخطط هرتزن-راسل اللمعان عموديًا مقابل درجة الحرارة السطحية أفقيًا، عادةً مع تناقص درجة الحرارة نحو اليمين ومقياس لوغاريتمي. السلسلة الرئيسية تمتد من النجوم الساخنة والمضيئة في أعلى اليسار إلى النجوم الباردة والخافتة في أسفل اليمين. العملاق الأحمر بارد لكنه مضيء بسبب مساحته السطحية الكبيرة. القزم الأبيض ساخن لكنه خافت بسبب مساحته السطحية الصغيرة. ضع الشمس بالقرب من لمعان شمسي واحد تقريبًا و$5800\ \mathrm K$ على السلسلة الرئيسية.
تتكون النجوم عندما ينكمش سحاب من الغاز والغبار تحت الجاذبية. يسخن النواة حتى يمكن أن تحافظ الاندماج النووي للهيدروجين على وجود نجمة في السلسلة الرئيسية؛ حيث تتوازن الضغط الخارجي مع الجاذبية. في نجم مشابه للشمس، ينفذ هيدروجين النواة في النهاية، وينخفض الاندماج هناك وتنكمش النواة بفعل الجاذبية. ترتفع درجة حرارة النواة؛ ويرتبط احتراق هيدروجين الغلاف لاحقًا واندماج الهيليوم بالتوسع نحو عملاق أحمر. تُفقَد الطبقات الخارجية، تاركًا نواة قزمة بيضاء دون اندماج نووي مستدام. تبرد بمرور وقت طويل جدًا. لن يتحول الشمس إلى مستعر أعظم أو نجم نيوتروني.
يمكن لنجم أكثر كتلة بكثير fusion عناصر أثقل خلال المراحل اللاحقة. عندما لا تتمكن نواته بعد ذلك من الحصول على طاقة من fusion، قد يؤدي الانكماش إلى مستعر عظيم يترك نجمًا نيوترونيًا أو ثقبًا أسود، اعتمادًا على المتبقي. النجم الرئيسي الضخم لديه وقود أكثر لكنه يستهلكه أسرع بكثير بسبب نواته الأكثر سخونة. لذلك يمكن أن تكون فترة حياته الرئيسية أقصر. اشرح معدل fusion، ليس فقط كمية الوقود. يظهر مسار HR تغيرات درجة الحرارة/اللمعان، وليس نجماً يتحرك عبر الفضاء.
انزياحات دوبلر وعلم الكونيات
قارن نفس الخط الطيفي
تأثير دوبلر هو تغيير في التردد/الطول الموجي المرصود الناتج عن الحركة النسبية على طول خط الرؤية. تصل واجهات الموجة المتتالية أبعد من بعضها البعض من مصدر متراجع وأقرب من بعضها البعض من مصدر يقترب. يعطي الانسحاب أطوال موجية أطوتر وترددات أقل؛ يعطي الاقتراب أطوال موجية أقصر وترددات أعلى. الحركة العمودية تمامًا على خط الرؤية ليست سرعة الانسحاب في النموذج البسيط.
لإشعاع كهرومغناطيسي عند سرعات ابتعاد منخفضة:
الانزياح الأحمر $z$ يكون موجبًا للابتعاد. بالنسبة للانزياحات الصغيرة، يساوي مقدارها تقريبًا الانخفاض الكسري في التردد المرصود مقارنة بالتردد المنبعث. حدد قاعدة الإشارات: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ تكون سالبة للابتعاد. لا تعادل الانزياح الأحمر الموجب بزيادة موجبة في التردد. التقريب $v/c_0$ ليس صيغة نسبية عامة لسرعات عالية.
مثال محلول. خط منبعث عند $500\ \mathrm{nm}$ يُرصد عند $505\ \mathrm{nm}$.
لاستخدام خطوط الامتصاص للنجم، تذكّر الوحدة 2: تُمتص الفوتونات فقط عندما تتساوى طاقاتها مع الفروقات المسموحة لمستويات الذرة. قارن نفس الخط الطيفي المُعرّف، وليس عنصرين مختلفين.
بالنسبة للأطراف المتقابلة لنجم يدور، يقترب طرف بينما يبتعد الآخر. إذا كانت انزياحاتهما متساوية ومعاكسة، فإن الفصل بين الطولين الموجيين المرصودين يساوي ضعف انزياح أي طرف. نصف هذا الفصل قبل إيجاد سرعة الاستواء. ثم استخدم $T=2\pi R/v$. هذا يفترض أن سرعة الطرف المرصودة على خط البصر تمثل سرعة دوران الاستواء تحت هندسة الرصد المعلومة.
قانون هابل وحدوده
على النطاقات الكونية الكبيرة، تتبع سرعة الابتداد تقريبًا قانون هابل:
ثابت هابل $H_0$ له وحدات مقلوب الزمن. في $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$، حوّل الكيلومترات إلى أمتار والميجابارس إلى أمتار قبل حساب مقلوبه بالثواني. قد تحتوي الأجسام القريبة على حركات محلية لا تتبع العلاقة واسعة النطاق.
مثال محلول. استخدم $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ و$1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ لتقدير مقياس زمني للتوسع.
المقلوب هو زمن هابل. تفسيره كعمر يفترض نموذجًا لمعدل التوسع الماضي؛ فهو ليس عمرًا دقيقًا مستقلاً عن النموذج. يعطي قيمة أكبر لـ $H_0$ مقياسًا زمنيًا مقلوبًا أصغر. أدلة التوسع تدعم كونًا أكثر كثافة وحرارة في الماضي؛ لكنها لا تصف انفجارًا في مركز محاط بمكان فارغ بالفعل.
المادة المظلمة تُستنتج من التأثيرات الجاذبية التي لا يمكن للمادة المرئية وحدها تفسيرها، مثل دوران المجرات وحركتها. لا يشترط إصدار ضوء قابل للكشف. كمية المادة الجاذبة تؤثر على كيفية تغير التوسع، لذا فإن عدم اليقين في محتوى المادة ونموذج التوسع يؤثر على تنبؤات مصير الكون. لا تستنتج أن قياس واحد لـ $H_0$ وحده يثبت توسعًا أبديًا أو انهيارًا مستقبليًا. تشمل النماذج الحديثة أيضًا الطاقة المظلمة؛ النتيجة 171 تتطلب تحديدًا فهم الجدل المتعلق بـ $H_0$، المادة المظلمة، والعمر والمصير، بدلاً من حفظ تنبؤ غير مشروط.
أخطاء شائعة
- استخدام درجة مئوية (°C) في $pV = NkT$، وقانون ستيفان أو قانون ويين. جميعها تتطلب كلفن: $T/\text{K} = \theta/{}^\circ\text{C} + 273$.
- استخدام $\Delta E = mc\Delta\theta$ أثناء انصهار المادة أو غليها. تكون درجة الحرارة ثابتة حينئذٍ؛ استخدم $\Delta E = mL$.
- خلط $N$ و$n$. يستخدم $pV = NkT$ عدد الجزيئات؛ بينما يستخدم $pV = nRT$ عدد المولات.
- ذكر طاقة الربط الكلية عند السؤال عن أي نواة أكثر استقرارًا. قارن طاقة الربط لكل نوكلون.
- ترك عجز الكتلة بوحدات u. حوّل باستخدام $1\ \text{u} = 1.66\times10^{-27}\ \text{kg}$ (أو استخدم $1\ \text{u} \equiv 931.5\ \text{MeV}$) قبل $\Delta E = c^2\Delta m$.
- خلط وحدات الزمن في $A = \lambda N$. إذا كانت $A$ بالبيكريل، يجب أن تكون $\lambda$ بوحدة $\text{s}^{-1}$.
- نسيان طرح الخلفية قبل ملاءمة منحنى الاضمحلال أو اختبار قانون التربيع العكسي.
- القول إن التسارع صفر عند نهاية الاهتزاز. عند $x = \pm A$ تكون السرعة صفرًا والتسارع أكبر ما يمكن؛ وفي نقطة الاتزان يحدث العكس.
- اعتقاد أن السعة الأكبر تغير الدور. في الحركة التوافقية البسيطة، يعتمد الدور فقط على $m$ و$k$ (أو $l$ و$g$).
- قياس نصف قطر المدار من السطح. في $g = GM/r^2$ و$V_{\text{grav}} = -GM/r$، يُقاس $r$ من المركز.
- نسيان $4\pi d^2$ في $I = L/4\pi d^2$، أو استخدام قطر النجم بدلاً من نصف قطره في $L = 4\pi r^2\sigma T^4$.
- استخدام $z = \Delta\lambda/\lambda \approx v/c$ للمجرات البعيدة جدًا دون الإشارة إلى أنه يتطلب $v \ll c$.
تحقق من نفسك
- لماذا يمكن أن تزيد الطاقة الداخلية دون ارتفاع درجة الحرارة أثناء تغير الطور؟
- كمية ثابتة من الغاز تسخن في وعاء صلب. أي مقياس حراري يجب استخدامه لمقارنة الضغوط؟
- هل يعني طاقة ارتباط أكبر لكل نيوكليون أن طاقة أقل أو أكثر مطلوبة لفصل كل نيوكليون في المتوسط؟
- لماذا يجب طرح الخلفية قبل استخدام نسبة معدل العد أو اللوغاريتم؟
- خط $a$–$x$ ميله $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. أوجد التردد الزاوي.
- لماذا تكون السرعة القصوى للحركة التوافقية البسيطة عند نقطة الاتزان رغم أن التسارع هناك صفري؟
- كيف يمكن جسر مُخمد أن يُدفع بنفس التردد ويتذبذب بسعة أصغر؟
- هل رفع قمر صناعي إلى نصف قطر أكبر يزيد أم ينقص طاقته الكامنة الجاذبية ذات الإشارة؟
- نجم ساكن لكنه خافت. أي منطقة في مخطط هرتزسبرونغ-راسل معقولة، وما الذي يمكن أن يفسر ضآلة لمعانه؟
- عند استخدام فصل الطول الموجي للأطراف الدوارة المتقابلة، لماذا يُحتاج إلى معامل الضرب في اثنين؟
الإجابات: (1) تتغير الطاقة الكامنة الجزيئية؛ (2) كلفن؛ (3) أكثر؛ (4) الخلفية لا تتبع قانون التناقص/المسافة للمصدر؛ (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$؛ (6) محصلة الإرجاع صفر هناك لكن الطاقة تكون حركية في الغالب؛ (7) limiting greater energy loss limits steady amplitude; (8) يزداد نحو الصفر؛ (9) قزم أبيض، سطح انبعاث صغير؛ (10) أحد الأطراف مزاح نحو الأزرق بينما الآخر مزاح نحو الأحمر.