摩擦
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| friction/ˈfrɪkʃn/ | 摩擦 | mó cā |
| coefficient of static friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv ˈstætɪk ˈfrɪkʃn/ | 静摩擦系数 | jìng mó cā xì shù |
| coefficient of kinetic friction/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv kɪˈnetɪk ˈfrɪkʃn/ | 动摩擦系数 | dòng mó cā xì shù |
| angle of friction | 摩擦角 | mó cā jiǎo |
| impending slip/ɪmˈpendɪŋ slɪp/ | 临界滑动 | lín jiè huá dòng |
斜坡上的箱子为什么不动？
- 一只 $50\ \text{kg}$ 的箱子放在 $20^{\circ}$ 的斜坡上，没有滑下。一定有一个沿斜坡的力托住了它。
- 这个力会自己调整：需要多少就给多少，但有上限。斜坡要多陡才会达到这个上限？
需要多少给多少，但有上限
- 干摩擦(friction) 沿接触面作用，阻碍滑动。滑动之前，它等于平衡所需的大小，最多到 $F \le \mu_s N$，$N$ 是法向力。
- $\mu_s$ 是静摩擦系数(coefficient of static friction)。一旦开始滑动，$F = \mu_k N$，用的是较小的动摩擦系数(coefficient of kinetic friction)。
静止物块受到的摩擦力总是 $\mu_s N$。
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$\mu_s N$ 是静摩擦能提供的最大值。静止的物块只受到平衡所需的摩擦力，只有在即将滑动时才达到 $\mu_s N$。
例题：需要的与能提供的
- 一只 $50\ \text{kg}$ 的箱子($W = 490.5\ \text{N}$)放在 $20^{\circ}$ 斜坡上，$\mu_s = 0.4$。它会滑吗？
- 需要的：重力沿斜坡向下的分量，$490.5\sin 20^{\circ} = 167.8\ \text{N}$。
- 能提供的：$\mu_s N = 0.4 \times 490.5\cos 20^{\circ} = 184.4\ \text{N}$。
- $167.8 < 184.4$，所以不滑。实际的摩擦力是 $167.8\ \text{N}$，不是 $184.4\ \text{N}$。
需要的与能提供的
只要沿斜面向下的分力 $mg\sin\theta$ 小于摩擦最多能提供的 $\mu mg\cos\theta$，物块就不动。把角度调到超过 $\tan^{-1}\mu$，不论质量多大它都会滑下。
一个 $30\ \text{kg}$ 的箱子放在水平地面上，$\mu_s = 0.5$。你横向推它 $100\ \text{N}$，它不动。摩擦力有多大(N)？
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极限是 $0.5 \times 30 \times 9.81 = 147.2\ \text{N}$，但箱子只需要 $100\ \text{N}$ 来平衡你的推力。摩擦力恰好是 $100\ \text{N}$。
最陡的安全坡度
- 达到极限时，接触面的总反力偏离法线 $\phi$ 角，$\tan\phi = \mu_s$。这个摩擦角(angle of friction) 就是摩擦锥的边缘。
- 斜坡上的物块在坡度达到 $\phi$ 时开始下滑，与重量无关。$\mu_s = 0.4$ 时 $\phi = \tan^{-1} 0.4 = 21.8^{\circ}$，所以 $20^{\circ}$ 的斜坡已接近边缘。
一个物块放在木板上，$\mu_s = 0.6$。你慢慢把木板倾斜。倾角多大(度)时物块开始滑动？
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当 $\tan\theta = \mu_s$ 时开始滑动：$\theta = \tan^{-1} 0.6 = 31.0^{\circ}$。质量被消去，因为下滑力和摩擦极限都与 $mg$ 成正比。
先定方向：与"将要发生的运动"相反
- 在临界滑动(impending slip) 时，摩擦力与即将发生的运动方向相反。先用语言说出那个运动，正负号就简单了。
- 要把那只 $50\ \text{kg}$ 的箱子推上斜坡，摩擦力沿斜坡向下：$P = 167.8 + 184.4 = 352.1\ \text{N}$(沿斜坡)，是重力下滑分力的两倍多。
你沿斜面方向慢慢把物块推上粗糙的斜面。物块受到的摩擦力指向哪里？
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物块沿斜面向上运动，所以摩擦力阻碍这一运动，沿斜面向下，与重力的下滑分力叠加。
要使一个 $20\ \text{kg}$ 的箱子开始沿 $25^{\circ}$ 斜面($\mu_s = 0.3$)向上运动，需要多大的平行于斜面的力(N)？
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$W = 196.2\ \text{N}$。下滑分力 $196.2\sin 25^{\circ} = 82.9\ \text{N}$，加上摩擦力 $0.3 \times 196.2\cos 25^{\circ} = 53.3\ \text{N}$，得 $P = 136.3\ \text{N}$。
倾倒还是滑动？
- 横向拉一个箱子，它可能滑动，也可能绕前边缘倾倒。分别求出所需拉力，较小的那个先发生。
- 一只宽 $0.5\ \text{m}$、高 $1.0\ \text{m}$ 的箱子，$W = 392.4\ \text{N}$，$\mu_s = 0.5$，在顶部拉。滑动：$P = 0.5 \times 392.4 = 196.2\ \text{N}$。倾倒：$P \times 1.0 = 392.4 \times 0.25$，所以 $P = 98.1\ \text{N}$。它先倾倒。
一个柜子重 $400\ \text{N}$，宽 $0.8\ \text{m}$，立在 $\mu_s = 0.4$ 的地面上。在 $1.2\ \text{m}$ 高处横向拉它。多大的拉力会使它动起来(倾倒或滑动，取先发生者)(N)？
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滑动：$0.4 \times 400 = 160\ \text{N}$。倾倒：$P \times 1.2 = 400 \times 0.4$，所以 $P = 133.3\ \text{N}$。较小的拉力先起作用：它倾倒。
梯子：多陡才安全？
- 一架均匀的梯子靠在光滑的墙上，与地面成 $\theta$ 角。对梯脚取矩得到墙的推力：$\dfrac{W}{2\tan\theta}$。地面的摩擦力必须与它相等。
- 摩擦力最多是 $\mu_s W$，所以当 $\tan\theta \ge \dfrac{1}{2\mu_s}$ 时梯子能立住。$\mu_s = 0.4$ 时：$\theta \ge 51.3^{\circ}$。
一架均匀的梯子靠在光滑的墙上，地面 $\mu_s = 0.25$。梯子与地面的夹角最小为多少度时它还能立住？
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$\tan\theta \ge \dfrac{1}{2\mu_s} = \dfrac{1}{0.5} = 2$，所以 $\theta \ge 63.4^{\circ}$。地面越滑，梯子要放得越陡。
容易丢分的地方
- 每次都写 $F = \mu_s N$。 那只是上限。如果箱子不滑，摩擦力就等于平衡所需的大小。
- 方向错误。 摩擦力阻碍的是将要发生的运动，而不是你随便想象的任何运动。
- 只检查滑动。 高的物体在高处被拉时，可能远在滑动之前就倾倒了。
你掌握了
- 静摩擦：$F \le \mu_s N$，只有在临界滑动时才等于上限。
- 比较需要的与能提供的；最陡的安全坡度是 $\tan^{-1}\mu_s$。
- 先判断将要发生的运动；比较倾倒与滑动，取较小的拉力。