形心与分布载荷
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| centroid/ˈsentrɔɪd/ | 形心 | xíng xīn |
| distributed load/ˈdɪstrɪbjuːtɪd ləʊd/ | 分布载荷 | fēn bù zài hè |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | 合力 | hé lì |
梁感受到的是形状，不是一个点
- 屋顶中间的积雪比边缘厚。下面的梁不是在一个点受推，而是沿全长受推。
- 工程上用一招来处理：把整个形状换成作用在其平衡点的一个力。这样前面各课的方法都能照用。
面积就是力，形心就是位置
- 分布载荷(distributed load) $w$ 是单位长度上的力，单位 $\dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$。它的合力(resultant) 等于载荷图下的面积。
- 合力作用在该面积的形心(centroid)，即它的平衡点。求支座反力时，这种替换是精确的，不是近似。
一根楼面梁全长 $5\ \text{m}$ 上承受均布 $3\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$。合力是多少 kN？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
合力就是矩形的面积：$R = wL = 3 \times 5 = 15\ \text{kN}$，作用在中点，距两端各 $2.5\ \text{m}$。
要熟记的两种形状
- 矩形(在长度 $L$ 上均布 $w$)：$R = wL$，在中点，距两端各 $\tfrac{L}{2}$。
- 三角形(从零增大到 $w_0$，长度 $L$)：$R = \tfrac{1}{2}w_0L$，距高端 $\tfrac{L}{3}$。那里载荷更重，所以平衡点偏向它。
一个载荷从一端的零均匀增大到跨度 $L$ 另一端的峰值。它的合力作用在哪里？
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
更多的载荷集中在峰值附近，所以平衡点偏向它：距峰值端 $\tfrac{L}{3}$，距零端 $\tfrac{2L}{3}$。
一个三角形载荷在 $6\ \text{m}$ 内增大到 $9\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$。它的合力作用点距峰值端多远(m)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
距峰值端 $\tfrac{L}{3} = \tfrac{6}{3} = 2\ \text{m}$。合力本身是 $\tfrac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27\ \text{kN}$。
例题：三角形载荷
- 一根 $4\ \text{m}$ 的简支梁(支座在 A 和 B)，载荷从 A 处的 $0$ 增大到 B 处的 $6\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$。
- $R = \tfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\ \text{kN}$，距 B $\tfrac{4}{3} = 1.33\ \text{m}$，即距 A $2.67\ \text{m}$。
- 对 A 取矩：$R_B \times 4 = 12 \times 2.67$，所以 $R_B = 8\ \text{kN}$，$R_A = 12 - 8 = 4\ \text{kN}$。高的一端承担得更多。
一根梁在两个简支座之间跨度 $5\ \text{m}$，全长承受均布 $4\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$。每个支座反力是多少 kN？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$R = 4 \times 5 = 20\ \text{kN}$，作用在跨中。由对称性(或对一端取矩：$5R_B = 20 \times 2.5$)，每个支座承担 $10\ \text{kN}$。
两个载荷，两个合力，一根梁
- 一根 $6\ \text{m}$ 的梁支承在 A 和 B，前 $3\ \text{m}$ 承受 $2\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$，后 $3\ \text{m}$ 承受一个在 B 处增大到 $4\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$ 的三角形载荷。
- 矩形：$6\ \text{kN}$，距 A $1.5\ \text{m}$。三角形：$6\ \text{kN}$，距 B $1\ \text{m}$，即距 A $5\ \text{m}$。
- 对 A 取矩：$6R_B = 6 \times 1.5 + 6 \times 5 = 39$，所以 $R_B = 6.5\ \text{kN}$，$R_A = 5.5\ \text{kN}$。
- 对 B 检验：$5.5 \times 6 = 33 = 6 \times 4.5 + 6 \times 1$。
把梯形拆开
- 从 $w_1$ 增大到 $w_2$ 的载荷，是高度为 $w_1$ 的矩形加上高度为 $w_2 - w_1$ 的三角形。分别求合力，再合成。
- 在 $3\ \text{m}$ 内从 $2$ 增大到 $5\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$：$1.5\ \text{m}$ 处 $6\ \text{kN}$，加上 $2\ \text{m}$ 处 $4.5\ \text{kN}$。合计 $10.5\ \text{kN}$，距低端 $\dfrac{6 \times 1.5 + 4.5 \times 2}{10.5} = 1.71\ \text{m}$。
一个载荷在 $3\ \text{m}$ 内从 $2$ 增大到 $5\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$。它的合力作用点距低端多远(m)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
矩形 $2 \times 3 = 6\ \text{kN}$，在 $1.5\ \text{m}$ 处；三角形 $\tfrac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\ \text{kN}$，在 $2\ \text{m}$ 处。合起来：$\dfrac{9 + 9}{10.5} = 1.714\ \text{m}$，越过中点偏向重的一端。
组合图形的形心
- 把图形切成几个矩形，取面积矩：$\bar y = \dfrac{\Sigma A_i\bar y_i}{\Sigma A_i}$，从你任选的一条线量起。
- T 形截面：$120 \times 20\ \text{mm}$ 的翼缘放在 $20 \times 80\ \text{mm}$ 的腹板上。从顶边量：$\bar y = \dfrac{2400 \times 10 + 1600 \times 60}{4000} = 30\ \text{mm}$。它靠近宽的翼缘，理应如此。
一个倒 T 形截面：底部平放一块 $100 \times 20\ \text{mm}$ 的翼缘，上面立着 $20 \times 60\ \text{mm}$ 的腹板。形心距底边多高(mm)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
翼缘：$2000\ \text{mm}^{2}$，在 $10\ \text{mm}$ 处。腹板：$1200\ \text{mm}^{2}$，在 $20 + 30 = 50\ \text{mm}$ 处。$\bar y = \dfrac{20\,000 + 60\,000}{3200} = 25\ \text{mm}$，在翼缘上方的腹板内。
容易丢分的地方
- 把三角形的合力放在中点。 它总是在距高端 $\tfrac{L}{3}$ 处。
- 用峰值代替面积。 在 $4\ \text{m}$ 上峰值为 $6\ \dfrac{\text{kN}}{\text{m}}$ 的三角形给出 $12\ \text{kN}$，不是 $24\ \text{kN}$。
- 不检查形心的位置。 它必须在图形内部，并偏向面积较大的部分。
用作用在形心的合力代替分布载荷，得到的支座反力完全准确。
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
合力与原载荷的总力相同，对每一点的力矩也相同，所以平衡方程分辨不出差别。梁内部的分析在后面的课题中仍需要真实的分布形状。
你掌握了
- 分布载荷化为一个合力 = 载荷图下的面积，作用在形心。
- 矩形：$wL$，在 $\tfrac{L}{2}$。三角形：$\tfrac{1}{2}w_0L$，距高端 $\tfrac{L}{3}$。其他形状拆成这两种。
- 组合图形：$\bar y = \dfrac{\Sigma A_i\bar y_i}{\Sigma A_i}$。