结构——桁架与刚架
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| truss/trʌs/ | 桁架 | héng jià |
| tension/ˈtenʃn/ | 拉力 | lā lì |
| compression/kəmˈpreʃn/ | 压力 | yā lì |
| method of joints/ˈmeθəd ɒv dʒɔɪnts/ | 节点法 | jié diǎn fǎ |
| zero-force member/ˈzɪərəʊ fɔːs ˈmembə/ | 零杆 | líng gān |
| method of sections/ˈmeθəd ɒv ˈsekʃnz/ | 截面法 | jié miàn fǎ |
| frames and machines/freɪmz ænd məˈʃiːnz/ | 刚架与机构 | gāng jià yǔ jī gòu |
几百根细杆，没有一根弯曲
- 铁路桥用一张细钢杆组成的网承载列车。每根杆只沿长度方向被拉或被压，从不弯曲。
- 秘诀是三角形。铰接的三角形不能变形，所以每根杆都是二力杆，每根杆的力都能求出。
什么是桁架
- 桁架(truss) 由无摩擦的铰把直杆连接起来，只在节点受载。每根杆件都是二力杆。
- 所以每根杆只承受纯拉力(tension)(被拉长，拉它两端的节点)或纯压力(compression)(被压短，推它两端的节点)。取拉力为正。
一根两端铰接、只在节点受载的直杆，只承受沿自身轴线的力。
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
它是二力杆，两端的力大小相等、方向相反，沿着通过两个铰点的直线，也就是杆的轴线。
节点法：每个铰两个方程
- 节点法(method of joints)：把一个节点当作质点。两个方程 $\Sigma F_x = 0$、$\Sigma F_y = 0$ 求出两根杆件的力。
- 把每个未知杆力都画成拉力(背离节点)。负的答案就表示受压。
- 墙上支架端部的一个节点挂着向下的 $3.6\ \text{kN}$。由一根水平杆和一根按 3-4-5 几何上升的斜杆支承。
- 竖直方向：$F \times \tfrac{3}{5} = 3.6$，所以斜杆受 $6\ \text{kN}$ 拉力：节点挂在它上面。
- 水平方向：水平杆受 $6 \times \tfrac{4}{5} = 4.8\ \text{kN}$ 压力：它把节点推离墙。
一个 $6\ \text{kN}$ 的载荷挂在桁架节点上，节点由一根水平杆和一根按 3-4-5 几何(竖直 3、水平 4)上升的斜杆支承。斜杆的力是多少 kN？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
只有斜杆有竖直分量：$F \times \tfrac{3}{5} = 6$，所以 $F = 10\ \text{kN}$，受拉。
在同一个节点中，水平杆承受什么？
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
斜杆以 $10 \times \tfrac{4}{5} = 8\ \text{kN}$ 把节点拉向墙。水平杆必须以 $8\ \text{kN}$ 推回去，所以受压。
从哪里开始
- 先把整个桁架当作一个刚体，求出支座反力。
- 再从未知杆件不超过两根的节点开始，一个节点一个节点地走下去。每求出一根杆，下一个节点就多一个已知力。
零杆，一眼看出
- 无载荷节点只连两根不共线的杆时，两根都为零。无载荷节点连三根杆、其中两根共线时，第三根为零。
- 这些零杆(zero-force members) 并不浪费。它们防止细长杆件屈曲，并在载荷改变时承担力。
下列哪些情况下杆件的力一定为零？选出所有正确项。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
没有载荷时，两个共线的力互相抵消，没有东西可以与第三个力平衡。节点上有载荷或支座反力时，情况就不同了。
例题：三节间桁架
- 一个普拉特桁架跨度 $6\ \text{m}$，分三个 $2\ \text{m}$ 节间，高 $2\ \text{m}$：下节点 A、C、D、B；上节点 E 在 C 上方、F 在 D 上方；斜杆 A–E、E–D、F–B。C 和 D 各受 $6\ \text{kN}$。
- 由对称性 $R_A = R_B = 6\ \text{kN}$。节点 A：$6 + F_{AE}\sin 45^{\circ} = 0$，得 $F_{AE} = -8.49\ \text{kN}$，即受压。
- 继续求：下弦杆 $6\ \text{kN}$ 拉力，上弦杆 E–F $6\ \text{kN}$ 压力，竖杆 $6\ \text{kN}$ 拉力，内斜杆 E–D 为零。
- 桁架下垂，所以下弦被拉长、上弦被压短。向下载荷下若下弦受压，说明正负号出了错。
在 C、D 各受 $6\ \text{kN}$ 的三节间普拉特桁架中，端斜杆 A–E 的力有多大(kN)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
在节点 A，只有 A–E 有竖直分量：$6 + F_{AE}\sin 45^{\circ} = 0$，所以 $F_{AE} = -8.49\ \text{kN}$，即 $8.49\ \text{kN}$ 压力。
截面法：直接切到所求的杆
- 截面法(method of sections)：切断最多三根杆件，取其中一段作为受力体。三个方程求三个力。
- 对两根被切杆件的交点取矩，就只剩第三个力。对上面的桁架，切断 E–F、E–D 和 C–D；对左段关于 E 取矩：$-6 \times 2 + 2F_{CD} = 0$，所以 $F_{CD} = 6\ \text{kN}$ 拉力。
把截面法的步骤按顺序排列。
难度 3/5 · 今日首次完成可获 200 金币及少量额外奖励
先求反力，因为保留的那一段通常包含一个支座。
刚架要拆成零件
- 刚架与机构(frames and machines) 含有沿长度受载的杆件。它们的铰接力不沿杆件方向，所以节点法不适用。
- 把刚架拆开：每根杆件一张受力图，共用的铰两侧受大小相等、方向相反的力。先解二力杆，因为它的方向已知。
把每种结构或任务与最合适的方法配对。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
选对方法就完成了一半。截面法省去为求一根杆件而走遍每个节点的工作。
容易丢分的地方
- 箭头方向混乱。 把每个未知力都画成拉力(背离节点)，让正负号决定。
- 截面切断四根杆。 三个方程只能求三个力。
- 在两个节点之间给杆件加载。 这样它会弯曲，就不是桁架杆件，桁架方法不再适用。
你掌握了
- 桁架杆件只受拉力或压力；取拉力为正。
- 节点法：每个铰两个方程。截面法：最多切三根杆，对其中两根的交点取矩。
- 先找出零杆；刚架逐根拆开求解。