刚体平衡与支座
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| pin/pɪn/ | 固定铰支座 | gù dìng jiǎo zhī zuò |
| roller/ˈrəʊlə/ | 滚动支座 | gǔn dòng zhī zuò |
| fixed support/fɪkst səˈpɔːt/ | 固定端 | gù dìng duān |
| cantilever | 悬臂梁 | xuán bì liáng |
| statically indeterminate | 超静定 | chāo jìng dìng |
为什么桥的一端要能滑动？
- 炎热的日子里，钢桥会伸长好几厘米。如果两端都用螺栓固定，桥会用力顶着支座，最后屈曲。
- 所以工程师把一端铰接，另一端放在滚轴上。支座给出的反力恰好是方程能求出的那么多，不多也不少。
刚体的三个方程
- 平面内的刚体给出三个方程：$\Sigma F_x = 0$、$\Sigma F_y = 0$、$\Sigma M = 0$。它们能求出三个未知反力。
- 支座每阻止一种运动就给出一个未知量：滚动支座(roller) 一个，铰支座(pin) 两个，固定端(fixed support) 三个(两个力和一个力矩)。
先取矩，后列力的方程
- 对一个支座取矩。另一个支座的未知量就单独留在方程里。力的方程再完成剩下的工作。
- 留下一个没用过的方程。它就是你的检验。
- 一根 $6\ \text{m}$ 的梁支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚动支座上，在距 A $2\ \text{m}$ 处承受 $12\ \text{kN}$。
- 对 A 取矩：$R_B \times 6 = 12 \times 2$，所以 $R_B = 4\ \text{kN}$。竖直方向：$R_A = 12 - 4 = 8\ \text{kN}$。
- 对 B 取矩检验：$8 \times 6 = 48 = 12 \times 4$。离载荷较近的支座承担得更多。
让力矩平衡
只有支点两侧的力矩(力乘以距离)相等时，梁才水平。远处的小载荷可以平衡近处的大载荷。
一根 $8\ \text{m}$ 的梁支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚动支座上，在距 A $3\ \text{m}$ 处承受 $20\ \text{kN}$。滚动支座反力 $R_B$ 是多少 kN？
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对 A 取矩：$R_B \times 8 = 20 \times 3$，所以 $R_B = 7.5\ \text{kN}$。
对同一根梁，铰支座的竖直反力 $R_A$ 是多少 kN？
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竖直方向 $R_A = 20 - 7.5 = 12.5\ \text{kN}$。对 B 取矩检验：$12.5 \times 8 = 100 = 20 \times 5$。
斜向载荷需要铰支座的水平力
- 先分解斜向载荷。它的竖直分量进入力矩方程；水平分量只能由铰支座承担，因为滚动支座不能横向推。
- $6\ \text{m}$ 梁的中点受一个与梁成 $60^{\circ}$ 的 $10\ \text{kN}$ 载荷：竖直分量 $8.66\ \text{kN}$，所以 $R_B = R_A = 4.33\ \text{kN}$，铰支座承担 $A_x = 5.00\ \text{kN}$。
一个 $8\ \text{kN}$ 的载荷与梁成 $30^{\circ}$ 作用在梁上。梁支承在一个铰支座和一个(水平面上的)滚动支座上。铰支座必须提供多大的水平力(kN)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
载荷的水平分量是 $8\cos 30^{\circ} = 6.93\ \text{kN}$。滚动支座只能竖直推，所以铰支座承担全部。
外伸梁会让反力反向
- 滚动支座移到距 A $4\ \text{m}$ 处，$10\ \text{kN}$ 的载荷挂在 $6\ \text{m}$ 处的梁端。
- 对 A 取矩：$R_B \times 4 = 10 \times 6$，所以 $R_B = 15\ \text{kN}$，比载荷还大。
- 竖直方向：$R_A = 10 - 15 = -5\ \text{kN}$。负号表示铰支座向下拉：它把左端拉住。
- 对 B 取矩检验：$R_A \times 4 + 10 \times 2 = -20 + 20 = 0$。
你把 A 处的铰支座反力画成向上，解得 $R_A = -5\ \text{kN}$。这说明什么？
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
负号表示真实的力与你画的箭头方向相反。铰支座能拉；单纯放在表面上的滚动支座不能拉，所以这一端必须用螺栓固定。
固定端可以单独支承
- 悬臂梁(cantilever) 只由一个固定端支承。它的三个反力，每个方程各求一个。
- 一根 $2\ \text{m}$ 的悬臂梁在梁端受 $3\ \text{kN}$：$A_y = 3\ \text{kN}$ 向上，墙提供力矩 $M_A = 3 \times 2 = 6\ \text{kN}\cdot\text{m}$，逆时针。
一根 $1.5\ \text{m}$ 的悬臂梁在自由端承受 $4\ \text{kN}$。固定端必须提供多大的力矩($\text{kN}\cdot\text{m}$)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$M_A = 4 \times 1.5 = 6\ \text{kN}\cdot\text{m}$，转向与载荷相反。竖直反力为向上 $4\ \text{kN}$。
支座比方程多
- 未知反力多于三个时，单靠平衡无法求出：物体是超静定的(statically indeterminate)。固定端加滚动支座有四个未知量。
- 这不是多花力气就能解的难题。它需要另一个思路，例如梁弯曲了多少，这在后面的课程中才学。
下列哪些梁只用三个平衡方程就能求解？选出所有正确项。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
铰支座加滚动支座、单独的固定端，各给出恰好 $3$ 个未知量。固定端加滚动支座给出 $4$ 个，两个铰支座也是 $4$ 个，所以都是超静定的。
容易丢分的地方
- 认为每个反力都向上。 外伸和偏置的载荷会让它们反向。先画成向上，让负号告诉你结果。
- 用错力臂。 求和之前，在图上标出每段到取矩点的距离。
- 用得出答案的同一个方程来检验。 只有没用过的方程才是真正的检验。
把求梁支座反力的方法按顺序排列。
难度 3/5 · 今日首次完成可获 200 金币及少量额外奖励
对支座取矩一下子消去三个未知量中的两个，所以它排在力的方程之前。
你掌握了
- 三个方程：$\Sigma F_x = 0$、$\Sigma F_y = 0$、$\Sigma M = 0$。滚动支座 1 个未知量，铰支座 2 个，固定端 3 个。
- 对一个支座取矩，单独求出另一个；用没用过的方程检验。
- 负的反力表示支座在拉；未知量多于三个就是超静定。