力矩与力偶
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | 力矩 | lì jǔ |
| moment arm/ˈməʊmənt ɑːm/ | 力臂 | lì bì |
| line of action/laɪn ɒv ˈækʃn/ | 作用线 | zuò yòng xiàn |
| couple/ˈkʌpl/ | 力偶 | lì ǒu |
为什么长扳手更省力？
- 用 $40\ \text{N}$ 推一把 $0.25\ \text{m}$ 长的扳手，你以 $10\ \text{N}\cdot\text{m}$ 转动螺母。换成 $0.50\ \text{m}$ 的扳手，同样的推力给出 $20\ \text{N}\cdot\text{m}$。
- 转动效果随距离增大。它需要自己的量度，也需要自己的方程。
力矩 = 力 × 垂直力臂
- 力对点 O 的力矩(moment) 是 $M = F d$。力臂(moment arm) $d$ 是从 O 到力的作用线(line of action) 的垂直距离。
- 单位是 $\text{N}\cdot\text{m}$。逆时针为正，顺时针为负。
$60\ \text{N}$ 的推力垂直作用在扳手上，距螺母 $0.30\ \text{m}$。它施加多大的力矩(单位 $\text{N}\cdot\text{m}$)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
推力垂直于扳手，所以力臂就是整个 $0.30\ \text{m}$：$M = 60 \times 0.30 = 18\ \text{N}\cdot\text{m}$。
一个力对点 O 的力臂是什么？
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
只有垂直距离在力沿作用线滑动时保持不变，所以只有它能衡量转动效果。
斜向的力转得少
- 如果力与杆成 $\theta$ 角，只有垂直分量 $F\sin\theta$ 使杆转动：$M = F r\sin\theta$，$r$ 是沿杆的距离。
- $0^{\circ}$ 的力(沿杆方向)作用线通过 O，不论多大都没有力矩。
- $300\ \text{N}$ 的力与杆成 $40^{\circ}$ 拉杆，距支点 O $1.2\ \text{m}$。
- $M = 300 \times 1.2 \times \sin 40^{\circ} = 231.4\ \text{N}\cdot\text{m}$。
- 换一种算法结果相同：力臂是 $1.2\sin 40^{\circ} = 0.771\ \text{m}$，$300 \times 0.771 = 231.4\ \text{N}\cdot\text{m}$。
角度决定力臂
把力从 $90^{\circ}$ 转向杆的方向。琥珀色的垂直力臂按 $r\sin\theta$ 缩短，力矩也随之变小；到 $0^{\circ}$ 时作用线通过转轴，力矩为零。
$200\ \text{N}$ 的力与杆成 $30^{\circ}$ 拉杆，作用点距支点 $0.50\ \text{m}$。它对支点的力矩是多少 $\text{N}\cdot\text{m}$？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$M = Fr\sin\theta = 200 \times 0.50 \times \sin 30^{\circ} = 50\ \text{N}\cdot\text{m}$。力的一部分沿杆方向拉，没有产生转动。
用分量求力矩
- 力臂不好找时，就把力分解。作用在点 $(x, y)$ 的力 $(F_x, F_y)$：$M_O = xF_y - yF_x$。
- 每个分量的力臂都很好找，正负号也会自动正确。
- $\vec F = (60,\ 80)\ \text{N}$ 作用在 $(2,\ 1)\ \text{m}$。求它对原点的力矩。
- $M_O = 2 \times 80 - 1 \times 60 = 100\ \text{N}\cdot\text{m}$，逆时针。
- 检验：$|\vec F| = 100\ \text{N}$，所以力臂必为 $100/100 = 1\ \text{m}$。在草图上量一下：确实如此。
力 $\vec F = (30,\ -40)\ \text{N}$ 作用在点 $(3,\ 2)\ \text{m}$。它对原点的力矩是多少 $\text{N}\cdot\text{m}$(逆时针为正)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$M_O = xF_y - yF_x = 3 \times (-40) - 2 \times 30 = -180\ \text{N}\cdot\text{m}$：顺时针 $180\ \text{N}\cdot\text{m}$。这里两个分量的转向相同。
力偶只转动，不推动
- 力偶(couple) 是两个大小相等、方向相反、互相平行的力。它的力矩是 $M = F d$，$d$ 是两条作用线之间的距离，而且对每一点都相同。
- 原因：对距一条作用线为 $a$ 的任一点，$M = F(a + d) - Fa = Fd$。$a$ 被消去。力偶没有合力，只有转动。
由两个相距 $0.8\ \text{m}$ 的 $150\ \text{N}$ 力组成的力偶，对其平面内每一点的力矩都是 $120\ \text{N}\cdot\text{m}$。
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
$M = Fd = 150 \times 0.8 = 120\ \text{N}\cdot\text{m}$。到参考点的距离相互抵消，所以力偶矩与参考点无关。
偏心力 = 力 + 力偶
- 距某点 $e$ 处的力 $F$，等于作用在该点的同一个力加上一个力偶 $M = Fe$。这种替换是精确的。
- 偏离柱中心线 $0.3\ \text{m}$ 吊挂的 $500\ \text{N}$ 载荷，等于沿中心线向下的 $500\ \text{N}$ 加一个 $150\ \text{N}\cdot\text{m}$ 的力偶。正是这个力偶使柱子弯曲。
- 一个支架承受向下的 $300\ \text{N}$(在螺栓 O 右侧 $0.4\ \text{m}$)和顺时针 $60\ \text{N}\cdot\text{m}$ 的力偶。
- 对 O：$-300 \times 0.4 - 60 = -180\ \text{N}\cdot\text{m}$，即顺时针 $180\ \text{N}\cdot\text{m}$。
- 对其他任何点，力的那部分会变，但 $60\ \text{N}\cdot\text{m}$ 永远不变。
一个支架承受竖直向下的 $400\ \text{N}$(在螺栓 O 右侧 $0.25\ \text{m}$)以及逆时针 $50\ \text{N}\cdot\text{m}$ 的力偶。对 O 的总力矩是多少 $\text{N}\cdot\text{m}$(逆时针为正)？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
力给出 $-400 \times 0.25 = -100\ \text{N}\cdot\text{m}$(顺时针)；力偶加上 $+50$。总和 $-50\ \text{N}\cdot\text{m}$，即顺时针 $50\ \text{N}\cdot\text{m}$。
容易丢分的地方
- 用到作用点的距离代替到作用线的垂直距离。
- 因为力偶"没有力"就把它从力矩和中漏掉。 力偶完整地进入每一个力矩方程。
- 转向混用。 相加之前，先给顺时针的力矩加上负号。
把每个概念与它的公式配对。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
四个公式是同一个思想——力乘以垂直距离——用在不同情形。
你掌握了
- 力矩 $M = Fd$，$d$ 为垂直力臂；或 $M = Fr\sin\theta$；或 $M_O = xF_y - yF_x$。
- 力偶对每一点的力矩都是 $Fd$，没有合力。
- 偏心力 = 作用在该点的同一个力 + 力偶 $Fe$。