质点平衡
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| particle/ˈpɑːtɪkl/ | 质点 | zhì diǎn |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | 平衡 | píng héng |
| concurrent/kənˈkʌrənt/ | 汇交 | huì jiāo |
吊灯静止不动，必须满足什么？
- 三个力交于吊灯的圆环：重力和两根绳的拉力。圆环不动。
- 所以这三个力的和必须为零。这一个事实恰好给出两个方程，两个方程能求两个未知量。
质点的两个方程
- 质点(particle) 是大小可以忽略的物体：所有力都作用在同一点。处于平衡(equilibrium) 时，$\Sigma F_x = 0$，$\Sigma F_y = 0$。
- 先画受力图，把每个力分解，再按每条轴写一个方程。
质点在运动时也可以处于平衡状态。
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
合力为零意味着加速度为零，而不是速度为零。沿直线匀速运动的质点也处于平衡。
例题：对称的招牌
- 一块 $400\ \text{N}$ 的招牌由两根绳吊着，两侧各与水平成 $30^{\circ}$ 向上。
- 由对称性，两个拉力相等，都是 $T$。竖直方向：$2T\sin 30^{\circ} = 400$，所以 $T = 400\ \text{N}$。
- 水平方向：$T\cos 30^{\circ} - T\cos 30^{\circ} = 0$。第二个方程就是检验，它成立。
一块 $600\ \text{N}$ 的招牌由两根对称的绳吊着，每根与水平成 $40^{\circ}$ 向上。每根绳的拉力是多少 N？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
竖直方向 $2T\sin 40^{\circ} = 600$，所以 $T = \dfrac{600}{2 \times 0.643} = 466.7\ \text{N}$。水平分量因对称而抵消。
绳越平，拉力越大
- 只有竖直分量在承重：$2T\sin\theta = W$，所以 $T = \dfrac{W}{2\sin\theta}$。$\theta$ 越小，$\sin\theta$ 越小，$T$ 越大。
- 对 $400\ \text{N}$ 的招牌：$60^{\circ}$ 时 $231\ \text{N}$，$30^{\circ}$ 时 $400\ \text{N}$，$10^{\circ}$ 时 $1152\ \text{N}$。完全拉直的绳需要无穷大的拉力，所以晾衣绳总会下垂。
同一个重物由两根对称的绳吊着。绳与水平成多大角度时拉力最小？
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
$T = \dfrac{W}{2\sin\theta}$，角度越陡 $\sin\theta$ 越大。在 $15^{\circ}$ 时，拉力几乎是载荷的两倍。
例题：不对称的情况
- 一盏 $200\ \text{N}$ 的灯由绳 1($30^{\circ}$)和绳 2($45^{\circ}$)吊着。求两个拉力。
- $x$：$T_1\cos 30^{\circ} = T_2\cos 45^{\circ}$，所以 $T_1 = 0.816\,T_2$。$\;y$：$T_1\sin 30^{\circ} + T_2\sin 45^{\circ} = 200$。
- 代入：$T_2(0.408 + 0.707) = 200$，所以 $T_2 = 179.3\ \text{N}$，$T_1 = 146.4\ \text{N}$。
- 检验：$146.4\sin 30^{\circ} + 179.3\sin 45^{\circ} = 73.2 + 126.8 = 200\ \text{N}$。较陡的绳承担得更多。
一个 $300\ \text{N}$ 的重物由两侧的绳 1(与水平成 $30^{\circ}$)和绳 2(成 $60^{\circ}$)吊着。绳 2 的拉力是多少 N？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$x$：$T_1\cos 30^{\circ} = T_2\cos 60^{\circ}$，所以 $T_2 = 1.732\,T_1$。$y$：$0.5\,T_1 + 0.866 \times 1.732\,T_1 = 300$，所以 $T_1 = 150\ \text{N}$，$T_2 = 259.8\ \text{N}$。检验：$75 + 225 = 300\ \text{N}$。
让坐标轴沿着未知力
- 让一条轴沿着某个未知力。这个力就不出现在另一个方程里，每个方程各解一个未知量。
- 一只 $500\ \text{N}$ 的箱子放在光滑的 $20^{\circ}$ 斜面上，用沿斜面的绳拉住。垂直斜面：$N = 500\cos 20^{\circ} = 469.8\ \text{N}$。沿斜面：$T = 500\sin 20^{\circ} = 171.0\ \text{N}$。
沿斜面取坐标轴
沿斜面方向，重力的分量是 $mg\sin\theta$；垂直斜面方向是 $mg\cos\theta$。摩擦为零时，沿斜面的绳子必须承担全部 $mg\sin\theta$。
一辆 $800\ \text{N}$ 的小车用平行于斜面的绳子拉住，停在光滑的 $30^{\circ}$ 斜面上。绳的拉力是多少 N？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
取 $x$ 轴沿斜面，法向力就不出现在这个方程里。沿斜面 $T = 800\sin 30^{\circ} = 400\ \text{N}$；垂直斜面 $N = 800\cos 30^{\circ} = 692.8\ \text{N}$。
三力交于一点
- 如果三个非平行力平衡，它们的作用线是汇交的(concurrent)：通过同一点。
- 所以两条已知的作用线就确定了第三条。这常常在做任何代数之前就告诉你未知力的方向。
把求解质点平衡问题的方法按顺序排列。
难度 3/5 · 今日首次完成可获 200 金币及少量额外奖励
先画图再选轴，因为要看未知力指向哪里才能选好坐标轴。
容易丢分的地方
- 相反的拉力用了相同的符号。 两根绳都"向上"，但它们的 $x$ 分量方向相反。
- 按角度大小分配载荷。 拉力遵循 $\sin\theta$，而不是角度本身。
- 想当然地认为对称。 要用第二个方程检验，不能直接假设。
关于质点平衡，下列哪些说法正确？选出所有正确项。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
在吊灯例题中，较陡的 $45^{\circ}$ 绳拉力更大($179.3\ \text{N}$ 对 $146.4\ \text{N}$)，而拉力遵循 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$，不是角度本身。
你掌握了
- 质点平衡：$\Sigma F_x = 0$，$\Sigma F_y = 0$；两个方程，两个未知量。
- 对称吊挂时 $T = \dfrac{W}{2\sin\theta}$：绳越平，拉力越大得多。
- 让一条轴沿着未知力就能消去它；三个平衡的力是汇交的。