矢量与力
引入| English | 释义 | 拼音 |
|---|---|---|
| force/fɔːs/ | 力 | lì |
| direction/daɪˈrekʃn/ | 方向 | fāng xiàng |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | 大小 | dà xiǎo |
| line of action/laɪn ɒv ˈækʃn/ | 作用线 | zuò yòng xiàn |
| component/kəmˈpəʊnənt/ | 分量 | fèn liàng |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | 合力 | hé lì |
| weight/weɪt/ | 重力 | zhòng lì |
| centre of gravity/ˈsentə ɒv ˈɡrævɪti/ | 重心 | zhòng xīn |
两根绳，一只箱子
- 一根绳以 $30\ \text{N}$ 向东拉箱子，另一根以 $40\ \text{N}$ 向北拉。一个大小为 $50\ \text{N}$、指向东偏北 $53.1^{\circ}$ 的拉力，效果完全相同。
- 把几个力换成一个，或把一个力拆成几个，是静力学的第一项本领。本课把它讲精确。
力 = 大小 + 方向 + 作用线
- 力(force) 有大小(magnitude)(单位牛顿，N)、方向(direction) 和作用线(line of action)：力所沿的那条直线。
- 从 $+x$ 轴量角 $\theta$。那么分量(components) 是 $F_x = F\cos\theta$、$F_y = F\sin\theta$。
- 把与水平成 $30^{\circ}$ 向上的 $100\ \text{N}$ 力分解。
- $F_x = 100\cos 30^{\circ} = 86.6\ \text{N}$，$F_y = 100\sin 30^{\circ} = 50.0\ \text{N}$。
- 重建来检验：$\sqrt{86.6^{2} + 50.0^{2}} = 100\ \text{N}$。分量就是同一个力的另一种描述。
一个 $250\ \text{N}$ 的力与水平方向成 $40^{\circ}$ 向上。它的水平分量是多少 N？
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$F_x = 250\cos 40^{\circ} = 191.5\ \text{N}$。竖直分量是 $250\sin 40^{\circ} = 160.7\ \text{N}$；把正弦和余弦用反就会得到这个错误答案。
如果角 $\theta$ 是从 $y$ 轴 量起的，那么力的 $x$ 分量是 $F\sin\theta$。
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
余弦总是属于量角的那条轴。从 $y$ 轴量起时，$F_y = F\cos\theta$，$F_x = F\sin\theta$。
合力：先加分量，再重建
- 合力(resultant) 是矢量和。把所有 $F_x$ 相加、所有 $F_y$ 相加，再重建：$R = \sqrt{(\Sigma F_x)^{2} + (\Sigma F_y)^{2}}$。
- 在两条轴上加数字，十个力也不会乱；把十个箭头首尾相接去画，就容易乱。
- 一根系缆桩被三根绳拉：$200\ \text{N}$ 向东、$150\ \text{N}$ 向北、$100\ \text{N}$ 向西。
- $\Sigma F_x = 200 - 100 = 100\ \text{N}$，$\Sigma F_y = 150\ \text{N}$。
- $R = \sqrt{100^{2} + 150^{2}} = 180.3\ \text{N}$，方向东偏北 $\tan^{-1}(150/100) = 56.3^{\circ}$。
两个力，一个合力
R = F1 + F2
合力的分量就是各分量之和。让两个力互相抵消，合力就缩为零。
三根绳拉一根桩：$120\ \text{N}$ 向东、$90\ \text{N}$ 向北、$60\ \text{N}$ 向西。合力的大小是多少 N？
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$\Sigma F_x = 120 - 60 = 60\ \text{N}$，$\Sigma F_y = 90\ \text{N}$，所以 $R = \sqrt{60^{2} + 90^{2}} = 108.2\ \text{N}$（方向东偏北 $56.3^{\circ}$）。
从 $+x$ 量的角自带正负号
- 给每个力标出从 $+x$ 逆时针量起的角度。这样 $\cos$ 和 $\sin$ 会替你给出负号：$210^{\circ}$ 方向的 $100\ \text{N}$ 就是 $(-86.6,\ -50.0)\ \text{N}$。
- 计算器的 $\tan^{-1}$ 只给出 $-90^{\circ}$ 到 $90^{\circ}$ 之间的角。要看 $\Sigma F_x$ 和 $\Sigma F_y$ 的正负，才能找到真正的象限。
- $200\ \text{N}$($0^{\circ}$)、$150\ \text{N}$($90^{\circ}$)和 $100\ \text{N}$($210^{\circ}$)作用于同一点。
- $\Sigma F_x = 200 - 86.6 = 113.4\ \text{N}$，$\Sigma F_y = 150 - 50.0 = 100.0\ \text{N}$。
- $R = 151.2\ \text{N}$，方向 $41.4^{\circ}$。两个和都是正的，所以第一象限的角是对的。
一个合力的分量是 $\Sigma F_x = -60\ \text{N}$、$\Sigma F_y = 80\ \text{N}$。从 $+x$ 逆时针量，它的方向是多少？
难度 1/5 · 今日首次完成可获 100 金币及少量额外奖励
力指向左上方，位于第二象限。计算器给出 $-53.1^{\circ}$，加上 $180^{\circ}$ 得 $126.9^{\circ}$。大小为 $100\ \text{N}$。
沿作用线滑动，绝不离开它
- 在刚体上，力可以沿自身作用线滑动而不改变效果。横向移动则会改变它使物体转动的效果。
- 重力(weight) 也是力：$W = mg$，$g = 9.81\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$，竖直向下通过重心(centre of gravity)。$50\ \text{kg}$ 的物块重 $490.5\ \text{N}$。
一台 $75\ \text{kg}$ 的电动机重多少 N？取 $g = 9.81\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
$W = mg = 75 \times 9.81 = 735.8\ \text{N}$，竖直向下，通过重心。质量单位是 kg；重力是力，单位是 N。
一个力作用在刚体上。下列哪些改变不会改变它对刚体的作用效果？选出所有正确项。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
沿作用线滑动、用分量代替，描述的都是同一个力。横向平移会改变它对新作用线以外每一点的力矩。
斜坐标检验
- 沿转过 $45^{\circ}$ 的坐标轴分解同样的力。分量会变，但重建出的大小不能变。
- 沿 $+x$ 的 $300\ \text{N}$ 加沿 $+y$ 的 $400\ \text{N}$ 是 $500\ \text{N}$。在斜坐标中它是 $(495.0,\ 70.7)\ \text{N}$，而 $\sqrt{495.0^{2} + 70.7^{2}} = 500\ \text{N}$，仍然相同。
把"先分量"求合力的步骤按顺序排列。
难度 3/5 · 今日首次完成可获 200 金币及少量额外奖励
先定角度，这样正负号会自动由 $\cos$ 和 $\sin$ 给出；象限检查放在最后，因为它要用到两个和。
容易丢分的地方
- 说明角从哪里量起。 只有当 $\theta$ 从 $x$ 轴量起时，$F_x = F\cos\theta$。从 $y$ 轴量起时，$F_x = F\sin\theta$。
- 不要相信计算器给的象限。 $\Sigma F_x = -60\ \text{N}$、$\Sigma F_y = 80\ \text{N}$ 时，$\tan^{-1}(80/{-60}) = -53.1^{\circ}$，但力指向左上方，真实方向是 $126.9^{\circ}$。
- 合力要有方向。 只写"$180\ \text{N}$"只答了一半。
把每个术语与它的含义配对。
难度 2/5 · 今日首次完成可获 140 金币及少量额外奖励
这四个词会出现在本课程以后的每一个单元中。
你掌握了
- 力有大小、方向和作用线；用 $F\cos\theta$、$F\sin\theta$ 分解，$\theta$ 从 $+x$ 量起。
- 合力：$x$ 分量求和，$y$ 分量求和，重建 $R$，并在正确的象限求角。
- 力可以沿作用线滑动，不能横移。用重建大小来检验。