Spread and grouped data · 离散程度与分组数据
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | 分组数据 | fēn zǔ shù jù |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | 众数组 | zhòng shù zǔ |
| quartiles/ˈkwɔːtaɪlz/ | 四分位数 | sì fēn wèi shù |
When data comes in groups
- A survey records the heights of 200 students. Instead of listing all 200 values, the data is grouped: $140$–$150$ cm ($15$ students), $150$–$160$ cm ($45$ students), and so on.
- Grouped data 分组数据 loses the individual values — so you can only estimate the mean.
当数据以分组形式呈现时
- 一项调查记录了200名学生的身高。未列出所有200个具体数值，而是将数据分组：$140$–$150$ cm（$15$名学生），$150$–$160$ cm（$45$名学生），以此类推。
- 分组数据 分组数据 丢失了个体数值——因此只能估计均值。
Spread measure lab · 离散程度度量实验
Classify data summaries by what they tell you about spread. · 根据它们所揭示的离散程度信息对数据汇总进行分类。
Estimating the grouped mean
- Use the midpoint of each class as the representative value:
The class $10$ to $20$ has midpoint $\dfrac{10 + 20}{2} = 15$.
- The modal class 众数组 is the group with the highest frequency.
A bar chart shows the frequency of each group
估计分组数据的均值
- 使用每组的组中值作为代表值：
从$10$到$20$的组别，其组中值为$\dfrac{10 + 20}{2} = 15$。
- 众数组 众数组 是指频数最高的组。
一个条形图显示每组的频数
A grouped class runs from 10 to 20. What midpoint do you use as its value? · 一个分组区间从 10 到 20。应使用哪个组中值作为该组的代表值？
(10 + 20)/2 = 15.
The modal class in grouped data is: · 分组数据中的众数组是：
The modal class is simply the group with the most data points. · 众数组仅仅是拥有最多数据点的组。
A class runs from 30 to 50. What midpoint do you use? · 一个分组区间从 30 到 50。应使用哪个组中值？
(30 + 50)/2 = 40.
Quartiles 四分位数 and the IQR
- Put the data in order. The quartiles cut it into four equal parts:
- Lower quartile (LQ) at the $\dfrac{1}{4}$ position.
- Upper quartile (UQ) at the $\dfrac{3}{4}$ position.
IQR, not range. The IQR measures the spread of the middle half of the data, ignoring the extremes. It's more reliable than the range when outliers are present.
四分位数 IQR
- 将数据按顺序排列。四分位数将其分为四个相等的部分：
- 下四分位数 (LQ) 位于 $\dfrac{1}{4}$ 位置。
- 上四分位数 (UQ) 位于 $\dfrac{3}{4}$ 位置。
IQR，而非极差。 IQR 衡量的是数据的中间一半的离散程度，忽略极端值。当存在异常值时，它比极差更可靠。
Box-and-whisker plot · 箱线图
Build a box plot from the five-number summary: the box is the middle 50% (the interquartile range) and the median's position shows the skew. · 根据五数概括法绘制箱线图：箱体代表中间 50% 的数据（即四分位距），中位数的位置显示偏态。
A data set has upper quartile 15 and lower quartile 7. Find the interquartile range. · 一组数据的上四分位数为 15，下四分位数为 7。求四分位距。
IQR = UQ − LQ = 15 − 7 = 8. · IQR = UQ − LQ = 15 − 7 = 8。
The interquartile range ignores extreme values, unlike the range. · 四分位距忽略了极端值，而极差则不然。
The IQR uses only the middle half, so outliers do not affect it. · IQR仅使用中间一半，因此异常值不会影响它。
The IQR measures the spread of the middle ______ of the data. · 四分位距衡量的是数据中间______部分的离散程度。
The IQR is the range of the middle 50% of values (between LQ and UQ). · 四分位距是中间 50% 数值的范围（介于下四分位数和上四分位数之间）。
Worked example
- UQ $= 15$, LQ $= 7$: $\text{IQR} = 15 - 7 = 8$.
- This means the middle $50\%$ of the data spans a range of $8$ units.
示例
- UQ $= 15$, LQ $= 7$: $\text{IQR} = 15 - 7 = 8$。
- 这意味着中间 $50\%$ 的数据跨度为 $8$ 个单位。
Compare spread fairly
- Compare IQRs when you want the spread of the middle half; a smaller IQR means that middle group is more consistent.
- Compare medians as well: equal IQRs do not mean equal typical values.
公平比较离散程度
- 当需要比较中间一半的离散程度时，请比较 IQR；较小的 IQR 表示该中间组别更一致。
- 同时比较中位数：相等的 IQR 并不意味着典型值相等。
Calculate a grouped estimate
- Classes $0\le x<10,10\le x<20,20\le x<40$ have frequencies 4,6,5. Midpoints are 5,15,30; weighted total is $T=4(5)+6(15)+5(30)=260$.
- Estimated mean $\bar x\approx260/15=17.3$ to one decimal place. The modal class is $10\le x<20$, with highest frequency 6. The mean is an estimate because the individual values are unknown.
计算分组估计值
- 各组 $0\le x<10,10\le x<20,20\le x<40$ 对应的频数为 4,6,5。组中值为 5,15,30；加权总和为 $T=4(5)+6(15)+5(30)=260$。
- 估计均值 $\bar x\approx260/15=17.3$ 保留一位小数。众数所在组是 $10\le x<20$，其频数最高为 6。由于单个数值未知，均值为估计值。
Class midpoints 5,15,30 have frequencies 4,6,5. Find the estimated mean to 1 dp. · 组中值为 5,15,30 的组别频数为 4,6,5。求估计均值（保留到 1 位小数）。
Weighted total = 260 and frequency total = 15, so mean ≈ 17.3. · 加权总和为 260，频数总和为 15，因此均值 ≈ 17.3。
Quartiles for individual data
- For ordered values $2,4,5,7,8,10,12,14$, median is $(7+8)/2=7.5$. Medians of the lower and upper halves give $Q_1=(4+5)/2=4.5$ and $Q_3=(10+12)/2=11$.
- $\text{IQR}=Q_3-Q_1=11-4.5=6.5$. State the convention used when working from a list; graph questions use the quarter and three-quarter cumulative positions.
个体数据的四分位数
- 对于有序数据 $2,4,5,7,8,10,12,14$，中位数为 $(7+8)/2=7.5$。下半部分和上半部分的中位数分别给出 $Q_1=(4+5)/2=4.5$ 和 $Q_3=(10+12)/2=11$。
- $\text{IQR}=Q_3-Q_1=11-4.5=6.5$。说明在处理列表时所采用的约定；图表问题则使用四分之一和四分之三累积位置。
Quartiles are 4.5 and 11. Find the IQR. · 四分位数为 4.5 和 11。求四分位距 (IQR)。
IQR = 11 − 4.5 = 6.5. · IQR = 11 − 4.5 = 6.5。
You've got it
- estimate a grouped mean using each class midpoint; modal class $=$ highest frequency
- IQR $=$ UQ $-$ LQ (spread of the middle half)
- the IQR ignores extreme values, unlike the range
你掌握了
- 利用每组的组中值估计分组均值；众数所在组 $=$ 具有最高频数
- IQR $=$ UQ $-$ LQ（中间一半的离散程度）
- IQR 忽略极端值，而极差不会