Inverse Functions · 反函数
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | 一一对应 | yī yī duì yìng |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 反射 | fǎn shè |
Undoing a function
- Every function does something to an input; its inverse undoes it.
- Add 3, and the inverse subtracts 3. Double it, and the inverse halves.
- The inverse runs the machine backward, turning outputs into inputs.
- This "undo" is exactly how we solve equations built from functions.
撤销一个函数
- 每个函数都对输入做了某件事;它的反函数把它撤销。
- 加 3,反函数就减 3。翻倍,反函数就减半。
- 反函数把机器倒着运行,把输出变回输入。
- 这个"撤销"正是我们求解由函数构成的方程的方法。
What an inverse does
- The inverse 反函数 of $f$, written $f^{-1}$, reverses every input-output pair.
- If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$.
- So the domain of $f$ becomes the range of $f^{-1}$, and vice versa.
- Composing them undoes everything: $f^{-1}(f(x)) = x$.
反函数做什么
- $f$ 的反函数(inverse)记作 $f^{-1}$,把每一对输入-输出反过来。
- 如果 $f$ 把 $2 \to 5$,那么 $f^{-1}$ 把 $5 \to 2$。
- 所以 $f$ 的定义域变成 $f^{-1}$ 的值域,反之亦然。
- 把它们复合起来会撤销一切:$f^{-1}(f(x)) = x$。
The inverse · 反函数 of a function… · 一个函数的反函数……
If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$: the inverse undoes what the function did. · 如果 $f$ 把 $2 \to 5$,那么 $f^{-1}$ 把 $5 \to 2$:反函数撤销函数所做的事。
It must be one-to-one
- An inverse function exists only if $f$ is one-to-one 一一对应.
- One-to-one means each output comes from exactly one input.
- If two inputs share an output, running backward is ambiguous — no single inverse.
- The horizontal-line test checks this: no horizontal line may hit the graph twice.
它必须一一对应
- 反函数只有当 $f$ 是一一对应(one-to-one)时才存在。
- 一一对应意味着每个输出恰好来自一个输入。
- 如果两个输入共享一个输出,倒着运行就有歧义——没有唯一的反函数。
- 水平线检验能判断这一点:任何水平线都不能与图像相交两次。
Reflect a line across y = x to see its inverse · 把一条直线关于 y = x 反射,看它的反函数
y = ax + b
This line is f(x) = 2x + 1. Its inverse swaps x and y, giving the mirror image across the line y = x. · 这条直线是 f(x) = 2x + 1。它的反函数交换 x 和 y,得到关于直线 y = x 的镜像。
A function has an inverse function only if it is ____ (each output comes from exactly one input). · 一个函数只有当它是____(每个输出恰好来自一个输入)时,才有反函数。
If two inputs share an output, the reverse map is ambiguous — so only a one-to-one function is invertible. · 如果两个输入共享一个输出,反向映射就有歧义——所以只有一一对应的函数才可逆。
Finding the inverse rule
- Write $y = f(x)$, then swap $x$ and $y$.
- Now solve the new equation for $y$ — that expression is $f^{-1}(x)$.
- For $f(x) = 2x + 1$: swap to $x = 2y + 1$, solve → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Swapping reverses the roles of input and output, which is the whole idea.
求反函数的规则
- 写出 $y = f(x)$,然后交换 $x$ 和 $y$。
- 现在把新方程解出 $y$——那个式子就是 $f^{-1}(x)$。
- 对 $f(x) = 2x + 1$:交换成 $x = 2y + 1$,解出 → $y = \dfrac{x-1}{2}$。
- 交换使输入和输出的角色互换,这正是核心思想。
To find the rule for $f^{-1}$, you… · 要求 $f^{-1}$ 的规则,你要……
Swapping $x$ and $y$ reverses the roles of input and output; solving for $y$ gives the inverse rule. · 交换 $x$ 和 $y$ 使输入和输出的角色互换;解出 $y$ 就得到反函数的规则。
Select all · 所有 true statements about inverse functions. · 选出关于反函数的所有正确说法。
Not every function is invertible — it must be one-to-one first. The other three are correct. · 并非每个函数都可逆——它必须先是一一对应的。其余三条正确。
Reflection across y = x
- Swapping $(a,b)$ to $(b,a)$ mirrors every point across the line $y = x$.
- So the graph of $f^{-1}$ is the reflection 反射 of the graph of $f$ in that line.
- Wherever $f$ crosses the y-axis, $f^{-1}$ crosses the x-axis, and so on.
- You can verify an inverse by checking $f(f^{-1}(x)) = x$.
关于 y = x 的反射
- 把 $(a,b)$ 换成 $(b,a)$,每个点都关于直线 $y = x$ 镜像。
- 所以 $f^{-1}$ 的图像是 $f$ 的图像关于那条线的反射(reflection)。
- $f$ 在哪里穿过 y 轴,$f^{-1}$ 就在哪里穿过 x 轴,以此类推。
- 你可以通过检查 $f(f^{-1}(x)) = x$ 来验证反函数。
The graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ across the line $y = x$. · $f^{-1}$ 的图像是 $f$ 的图像关于直线 $y = x$ 的反射。
Swapping every $(a,b)$ to · 到 $(b,a)$ mirrors the whole graph across $y = x$. · 把每个 $(a,b)$ 换成 $(b,a)$,整张图像就关于 $y = x$ 镜像。
The notation $f^{-1}$ means the inverse function, not the reciprocal $\dfrac{1}{f}$. Despite the "$-1$", $f^{-1}(x)$ is never $\dfrac{1}{f(x)}$ — it is the function that undoes $f$.
记号 $f^{-1}$ 表示反函数,不是倒数 $\dfrac{1}{f}$。尽管带着"$-1$",$f^{-1}(x)$ 绝不是 $\dfrac{1}{f(x)}$——它是撤销 $f$ 的那个函数。
Find the inverse of $f(x) = 3x - 6$.
- Write $y = 3x - 6$, then swap: $x = 3y - 6$.
- Solve for $y$: $x + 6 = 3y$, so $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Check: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — it undoes $f$. ✓
求 $f(x) = 3x - 6$ 的反函数。
- 写出 $y = 3x - 6$,然后交换:$x = 3y - 6$。
- 解出 $y$:$x + 6 = 3y$,所以 $y = \dfrac{x+6}{3}$。
- 检验:$f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$——它撤销了 $f$。✓
An inverse function $f^{-1}$ reverses each input-output pair, so it undoes $f$. It exists only when $f$ is one-to-one. Find it by swapping $x$ and $y$ and solving; its graph is the reflection of $f$ across the line $y = x$.
反函数 $f^{-1}$ 把每一对输入-输出反过来,所以它撤销 $f$。只有当 $f$ 是一一对应时它才存在。通过交换 $x$ 和 $y$ 并求解来找到它;它的图像是 $f$ 关于直线 $y = x$ 的反射。