词汇
| English | 中文 | 拼音 |
|---|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | 指数 | zhǐ shù |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | 对数 | duì shù |
| base/beɪs/ | 底数 | dǐ shù |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | 自然对数 | zì rán duì shù |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | 常用对数 | cháng yòng duì shù |
反过来的问题
- 指数回答"从 1 开始,乘以 2 五次——得到什么?"($2^5 = 32$)。
- 对数回答反过来的问题:"我必须乘以 2 多少次才能到达 32?"($5$)。
- 这个反过来的问题无处不在:pH 值、地震、分贝、复利。
- 对数不过就是被重新拉出来的那个指数。
对数就是指数
- 对数(logarithm)回答:底数(base)要升到几次方才能得到某个值?
- $\log_b y = x$ 恰好意味着 $b^x = y$——对数就是那个指数 $x$。
- 所以 $\log_2 8 = 3$,因为 $2^3 = 8$。
- 把对数读作"那个管用的指数",它就没那么神秘了。
探索
从指数曲线上读出对数
y = 2ˣ
在曲线 y = 2ˣ 上找到 y 值 8。产生它的那个 x 就是指数——那就是 2 为底 8 的对数。
练习
式子 $\log_b y = x$ 的意思与……相同。
对数就是指数:$\log_b y = x$ 问的是"$b$ 的几次方等于 $y$?",所以 $b^x = y$。
练习
求 $\log_2 8$。
$2^3 = 8$,所以指数是 $3$:$\log_2 8 = 3$。
常用对数与自然对数
- 有两个底数太常用了,于是有了简写。
- 常用对数(common log)$\log$(不写底数)以 $10$ 为底。
- 自然对数(natural log)$\ln$ 以 $e \approx 2.718$ 为底。
- 计算器上两个按钮都有;其他底数用换底公式。
练习
自然对数 $\ln$ 用的是哪个底数?
自然对数以 $e$ 为底;常用对数($\log$ 不写底数)以 $10$ 为底。
练习
选出关于对数的所有正确说法。
对数的自变量必须为正,所以不能取负数的对数。其余三条正确。
在两种形式之间转换
- 每一个指数(exponential)式子都有一个对应的对数式子。
- $b^x = y \iff \log_b y = x$——同一个事实的两种写法。
- 把 $10^3 = 1000$ 改写成 $\log_{10} 1000 = 3$。
- 切换形式是求解带未知指数方程的关键技巧。
自变量必须为正
- 你只能取正数的对数。
- 正底数升到任何次幂都保持为正,所以 $b^x$ 永远到不了 $0$ 或负数。
- 因此当 $y \le 0$ 时 $\log_b y$ 无定义。
- 这个限制塑造了每一个对数函数的定义域。
练习
对数的自变量(输入)必须是____,因为正底数的任何次幂都保持为正。
因为 $b^x > 0$ 恒成立,没有指数能产生零或负数——所以 $\log_b y$ 需要 $y > 0$。
注意
$\log_b y$ 是那个指数,不是乘积。$\log_2 8$ 是 $3$(那个幂),不是 $2 \times 8$。而且你永远不能取 $0$ 或负数的对数——自变量必须严格为正。
例子
用对数求解 $2^x = 16$。
- 改写成对数形式:$x = \log_2 16$。
- 问"$2$ 的几次方是 $16$?"——因为 $2^4 = 16$,答案是 $4$。
- 所以 $x = 4$:对数替我们把指数拉了出来。
关键点
对数是一个指数:$\log_b y = x$ 意味着 $b^x = y$。常用对数以 $10$ 为底,自然对数以 $e$ 为底。每一个指数式子都能转换成对数式子,而对数的自变量必须始终为正。