Ratio Test for Convergence · 比值判别法（用于判定收敛性）
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
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| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | 比值判别法 | bǐ zhí pàn bié fǎ |
Comparing a term to the one before it
- When terms involve factorials or $n$th powers, comparisons are awkward. Use the Ratio Test 比值判别法 instead.
- It looks at how each term compares to the previous one — the ratio $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — in the limit.
- A ratio settling below $1$ means terms shrink geometrically fast, forcing convergence.
- It's the go-to test for factorials and exponentials.
把一项与前一项比较
- 当各项涉及阶乘或 $n$ 次幂时,比较很别扭。改用比值判别法。
- 它在极限意义下看每项与前一项之比——$\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$。
- 比值稳定在 $1$ 以下,意味着各项以几何速度缩小,迫使收敛。
- 它是阶乘和指数的首选判别法。
The test
- Compute $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: the series converges (absolutely).
- $L>1$ (or $L=\infty$): the series diverges.
- $L=1$: the test is inconclusive — use another test.
判别法
- 计算 $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$。
- $L<1$: 级数(绝对)收敛。
- $L>1$(或 $L=\infty$):级数发散。
- $L=1$: 判别法不确定——用别的判别法。
A ratio below 1 forces convergence · 比值小于 1 强制收敛
If the ratio of consecutive terms settles below $1$, terms shrink geometrically fast — the series converges. · 如果连续项的比值稳定在 $1$ 以下，通项将几何级数般快速缩小——该级数收敛。
In the Ratio Test, if $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, the series... · 在比值判别法中，若 $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$，该级数...
$L<1$ → converges. · $L<1$ → 收敛。
The Ratio Test uses the absolute value of the ratio of consecutive terms. · 比值判别法使用连续项比值的绝对值。
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
Factorials and powers love the ratio test
- Factorials telescope beautifully: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — the ratio simplifies enormously.
- Same for $n$th powers of a constant: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- So series like $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ or $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ are natural ratio-test problems.
- Write $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, cancel, and take the limit.
阶乘和幂钟爱比值判别法
- 阶乘漂亮地"望远镜相消":$\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$——比值极大化简。
- 常数的 $n$ 次幂也一样:$\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$。
- 所以像 $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ 或 $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ 是天然的比值判别法题。
- 写出 $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$,约分,取极限。
If the Ratio Test gives $L=1$, then... · 若比值判别法得出 $L=1$，则...
$L=1$ gives no information. · $L=1$ 不提供任何信息。
For · 支持 $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$ · 对于 $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
The Ratio Test works especially well for series with... · 比值判别法特别适用于含...的级数
p-series give $L=1$ (useless); factorials/exponentials simplify nicely. · p-级数给出 $L=1$（无用）；阶乘/指数函数可优雅化简。
The $L=1$ dead zone
- When $L=1$, the ratio test gives no information — the series could converge or diverge.
- This happens for p-series (e.g. $\sum\tfrac1{n^2}$ gives $L=1$), where you'd use the p-series rule instead.
- So the ratio test shines on factorials/exponentials but is useless on plain powers of $n$.
- Recognize $L=1$ and switch tools.
$L=1$ 的死区
- 当 $L=1$,比值判别法给出无信息——级数可能收敛也可能发散。
- 这对 p-级数会发生(如 $\sum\tfrac1{n^2}$ 给出 $L=1$),那时你改用 p-级数规则。
- 所以比值判别法在阶乘/指数上闪光,却对 $n$ 的普通幂无用。
- 认出 $L=1$ 就换工具。
Since $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, the series $\sum\tfrac{2^n}{n!}$... · 由于 $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$，级数 $\sum\tfrac{2^n}{n!}$...
$L=0<1$ → converges. · $L=0<1$ → 收敛。
Take the absolute value of the ratio, and remember the three cases: $L<1$ converges, $L>1$ diverges, $L=1$ is inconclusive (don't guess — use another test). The ratio test is powerful for factorials/exponentials but gives $L=1$ (useless) on p-series like $\sum\tfrac1{n^p}$.
取比值的绝对值,并记住三种情形:$L<1$ 收敛,$L>1$ 发散,$L=1$ 不确定(别猜——用别的判别法)。比值判别法对阶乘/指数强大,但对像 $\sum\tfrac1{n^p}$ 的 p-级数给出 $L=1$(无用)。
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ converge?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- Since $L<1$, the series converges.
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ 收敛吗?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$。
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$。
- 因为 $L<1$,级数收敛。
The Ratio Test: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → converges, $L>1$ → diverges, $L=1$ → inconclusive. Ideal for factorials and exponentials (the ratios simplify); useless (gives $L=1$) on p-series.
比值判别法:$L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$。$L<1$ → 收敛,$L>1$ → 发散,$L=1$ → 不确定。对阶乘和指数理想(比值化简);对 p-级数无用(给出 $L=1$)。