Connecting Position, Velocity, and Acceleration of Functions Using Integrals · 利用积分连接函数的位置、速度和加速度
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | 位置 | wèi zhì |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 位移 | wèi yí |
Motion, now run through integrals
- Unit 4 went position → velocity → acceleration by differentiating. Integration goes backward.
- Integrate acceleration to recover velocity; integrate velocity to recover position 位置.
- Each step adds up a rate to get the quantity it changes.
- So integrals rebuild the motion story from the rates.
运动,如今用积分来走
- 第 4 单元通过求导从位置 → 速度 → 加速度。积分反着倒回去。
- 对加速度积分还原速度;对速度积分还原位置。
- 每一步都把一个速率加起来,得到它所改变的量。
- 所以积分从速率重建运动的故事。
To recover position from velocity you... · 要从速度恢复位置，你需要...
Position · 位置 $=$ initial $+\int v\,dt$. · 位置 $=$ 初始 $+\int v\,dt$ 。
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Each needs an initial value (the constant of integration in disguise).
- Integrate the rate, then add where you started.
沿链条向上
- 由加速度求速度: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$。
- 由速度求位置: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$。
- 每个都需要一个初值(乔装的积分常数)。
- 对速率积分,再加上你出发的地方。
Recovering position from velocity requires an ____ value to fix the constant. · 从速度恢复位置需要一个 ____ 值来确定常数。
Position · 位置 $=$ initial position $+\int v\,dt$. · 位置 $=$ 初始位置 $+\int v\,dt$ 。
Displacement vs. distance
- Displacement 位移 over $[a,b]$ is the signed integral of velocity: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — net change in position.
- Total distance is the integral of speed $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — it never subtracts.
- If the object turns around, displacement and distance differ.
- Displacement can be zero after real motion; distance cannot (unless it never moved).
位移 vs 路程
- $[a,b]$ 上的位移是速度的带符号积分:$\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$——位置的净变化。
- 总路程是速率 $|v|$ 的积分:$\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$——它从不相减。
- 若物体掉头,位移与路程就不同。
- 位移在真实运动后可以为零;路程不能(除非它从未移动)。
Signed area under velocity · 速度下的有向面积
y = t − 2 (velocity) · y = t − 2（速度）
The signed area under $v(t)$ is displacement; taking absolute value on each piece (split at $v=0$) gives distance. · $v(t)$ 下的有向面积是位移；对每一段取绝对值（在 $v=0$ 处分段）得到距离。
For · 支持 $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, find the displacement $\int_0^3 (t-2)\,dt$. · 对于 $v(t)=t-2$ 在 $[0,3]$ 上，求位移 $\int_0^3 (t-2)\,dt$ 。
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Displacement can be zero even when the object has actually moved. · 即使物体实际发生了移动，位移也可能为零。
Out-and-back gives zero net displacement but positive distance. · 往返运动导致净位移为零，但路程为正。
Distance means splitting at the turns
- To get total distance, find where $v=0$ (the turning points) and integrate $|v|$ piece by piece.
- On each piece $v$ keeps one sign, so $|v|$ is just $\pm v$ there.
- Add the absolute areas of the pieces — no cancellation.
- This "split at $v=0$" step is exactly what makes distance $\neq$ displacement.
求路程意味着在掉头处分段
- 要得到总路程,找 $v=0$(掉头点)之处,逐段积分 $|v|$。
- 在每段上 $v$ 保持一个符号,所以 $|v|$ 就是那里的 $\pm v$。
- 把各段的绝对面积相加——不抵消。
- 这个"在 $v=0$ 处分段"正是让路程 $\neq$ 位移的关键。
For · 支持 $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, total distance is $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Compute it. · 对于 $v(t)=t-2$ 在 $[0,3]$ 上，总路程为 $\int_0^3 |t-2|\,dt$ 。计算它。
Split at $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$. · 在 $t=2$ 处分段：$2+\tfrac12=\tfrac52$ 。
Total distance traveled over $[a,b]$ is... · 在 $[a,b]$ 内移动的总路程是...
Integrate speed $|v|$; splitting at turning points is required. · 对速率 $|v|$ 积分；必须在转向点处分段。
Displacement ($\int v\,dt$) is signed and can be zero even after moving; total distance ($\int|v|\,dt$) is never negative. To get distance, split the interval where $v=0$ and add the absolute values — do not just integrate $v$ and take its absolute value at the end. And recovering position/velocity needs the initial value.
位移($\int v\,dt$)带符号,即使移动后也可为零;总路程($\int|v|\,dt$)从不为负。要得路程,在 $v=0$ 处分段并相加绝对值——不要只积分 $v$ 然后在最后取绝对值。而且还原位置/速度需要初值。
A particle has $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Find displacement and total distance.
- Displacement: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: negative on $[0,2)$, positive on $(2,3]$.
- Distance: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
一个质点在 $[0,3]$ 上有 $v(t)=t-2$(m/s)。求位移与总路程。
- 位移: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m。
- $v=0$ 在 $t=2$:在 $[0,2)$ 为负,在 $(2,3]$ 为正。
- 路程: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m。
Integrals rebuild motion: velocity $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Displacement over $[a,b]$ is the signed $\int_a^b v\,dt$; total distance is $\int_a^b|v|\,dt$ — split at the turning points ($v=0$) and add absolute values.
积分重建运动:速度 $=$ 初值 $+\int a\,dt$,位置 $=$ 初值 $+\int v\,dt$。$[a,b]$ 上的位移是带符号的 $\int_a^b v\,dt$;总路程是 $\int_a^b|v|\,dt$——在掉头点($v=0$)分段并相加绝对值。