Straight-Line Motion: Connecting Position, Velocity, and Acceleration · 直线运动：连接位置、速度和加速度
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | 位置 | wèi zhì |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | 速度 | sù dù |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | 加速度 | jiā sù dù |
| speed/spiːd/ | 速率 | sù lǜ |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 位移 | wèi yí |
Position, velocity, acceleration — a derivative chain
- Motion along a line is the classic home of the derivative.
- Position 位置 $s(t)$ says where the object is at time $t$.
- Its derivative is velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ — how fast and which way.
- The derivative of velocity is acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
位置、速度、加速度——一条求导链
- 沿直线的运动是导数的经典舞台。
- 位置 $s(t)$ 说明物体在时刻 $t$ 在哪里。
- 它的导数是速度 $v(t)=s'(t)$——多快且朝哪个方向。
- 速度的导数是加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$。
A position-time curve · 位置-时间曲线
y = ax³ + bx² + cx
The slope of this position curve is velocity; where it levels off ($v=0$) the object is momentarily at rest. · 此位置曲线的斜率是速度；在其变平处（$v=0$），物体瞬时静止。
Velocity is the derivative of... · 速度是...的导数
$v=s'$: velocity is the derivative of position. · $v=s'$：速度是位置的导数。
Velocity carries a sign
- Velocity is signed: $v>0$ means moving in the positive direction, $v<0$ the negative direction.
- Speed 速率 is the size only, $|v|$ — always non-negative.
- The object is at rest when $v(t)=0$ (momentarily stopped).
- A sign change in $v$ means the object turned around.
速度带符号
- 速度是有符号的:$v>0$ 表示沿正方向运动,$v<0$ 沿负方向。
- 速率只是大小 $|v|$——永远非负。
- 当 $v(t)=0$ 时物体静止(一瞬间停下)。
- $v$ 的变号意味着物体掉头了。
For · 支持 $v(t)=3t^2-12t+9$, the object is at rest when $v=0$. One such time is $t=1$; find the other · 相反 time. · 对于 $v(t)=3t^2-12t+9$，物体静止时满足 $v=0$。其中一个时间是 $t=1$；求另一个时间。
$3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ or · 或 $t=3$. · $3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ 或 $t=3$。
Speed is the absolute value of velocity, so speed is never negative. · 速率是速度的绝对值，因此速率永远不会为负。
Speed · 速度 $=|v|\ge0$; velocity carries a sign. · 速率 $=|v|\ge0$；速度带有符号。
Speeding up or slowing down?
- Compare the signs of velocity and acceleration:
- Same sign ($v$ and $a$ both $+$, or both $-$) → the object is speeding up.
- Opposite signs → the object is slowing down.
- (Intuition: acceleration pushing the same way as motion adds speed; pushing against it removes speed.)
加速还是减速?
- 比较速度与加速度的符号:
- 同号($v$ 与 $a$ 都为 $+$,或都为 $-$)→ 物体在加速。
- 异号 → 物体在减速。
- (直觉:加速度与运动同向就加速;逆向就减速。)
An object is speeding up when velocity and acceleration have... · 当速度和加速度具有...时，物体加速。
Same sign → speeding up; opposite → slowing down. · 同号 → 加速；异号 → 减速。
At $t=1$, $v=-2$ and $a=-6$. Select all · 所有 true statements. · 在 $t=1$ 处，$v=-2$ 和 $a=-6$。选择所有正确的陈述。
$v<0$ (negative direction), $v,a$ same sign (speeding up), $|v|=2$. It is not at rest ($v\neq0$). · $v<0$（负方向），$v,a$ 同号（加速），$|v|=2$。它不是静止的（$v\neq0$）。
Reading the whole story
- Displacement 位移 over $[t_1,t_2]$ is $s(t_2)-s(t_1)$ — net change in position (can be zero even after moving).
- Direction of motion = sign of $v$; turning points are where $v=0$ and changes sign.
- From $s(t)$ you can get everything by differentiating: $v=s'$, then $a=v'$.
- This chain — position → velocity → acceleration — is one of the most tested ideas in the course.
读出完整的故事
- $[t_1,t_2]$ 上的位移是 $s(t_2)-s(t_1)$——位置的净变化(即使运动过后也可以为零)。
- 运动方向 = $v$ 的符号;掉头点是 $v=0$ 且变号之处。
- 从 $s(t)$ 通过求导可得到一切:$v=s'$,再 $a=v'$。
- 这条链——位置 → 速度 → 加速度——是本课程最常考的思想之一。
The net change in position over an interval, $s(t_2)-s(t_1)$, is called the . · 区间内位置的净变化 $s(t_2)-s(t_1)$ 称为。
Displacement is net change in position. · 位移是位置的净变化。
"Speeding up" is not the same as "positive acceleration." An object with $v<0$ and $a<0$ is speeding up (moving faster in the negative direction). Always compare the signs of $v$ and $a$: same sign → speeding up, opposite signs → slowing down. And velocity (signed) is not speed ($|v|$).
"加速"与"加速度为正"不是一回事。$v<0$ 且 $a<0$ 的物体在加速(沿负方向越来越快)。永远比较**$v$ 与 $a$ 的符号**:同号 → 加速,异号 → 减速。而且速度(有符号)不是速率($|v|$)。
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (metres, seconds). Analyze the motion at $t=1$.
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$; $\;v(1)=3-12+9=0$ — the object is momentarily at rest.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- Just after $t=1$, $v$ turns negative while $a<0$ (same sign) → it speeds up moving in the negative direction.
$s(t)=t^3-6t^2+9t$(米、秒)。分析 $t=1$ 处的运动。
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$;$\;v(1)=3-12+9=0$——物体一瞬间静止。
- $a(t)=v'(t)=6t-12$;$\;a(1)=-6$。
- 在 $t=1$ 刚过,$v$ 变负而 $a<0$(同号)→ 它沿负方向加速。
For straight-line motion, velocity $v=s'$ and acceleration $a=v'=s''$. Velocity is signed (direction); speed is $|v|$; the object is at rest when $v=0$. Compare signs: $v$ and $a$ the same → speeding up, opposite → slowing down. Displacement over an interval is the net change $s(t_2)-s(t_1)$.
对直线运动,速度 $v=s'$、加速度 $a=v'=s''$。速度有符号(方向);速率是 $|v|$;当 $v=0$ 时物体静止。比较符号:$v$ 与 $a$ 同号 → 加速,异号 → 减速。区间上的位移是净变化 $s(t_2)-s(t_1)$。