Differentiating Inverse Trigonometric Functions · 反三角函数的求导
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
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| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 反三角函数 | fǎn sān jiǎo hán shù |
Derivatives that hide a square root
- The inverse trig functions — $\arcsin$, $\arctan$, and friends — undo sine, tangent, etc.
- Their derivatives are surprisingly algebraic: no trig at all, just powers and roots.
- Two are worth memorizing outright; the rest follow the same pattern.
- These inverse trigonometric functions 反三角函数 show up in integrals later, so knowing their derivatives pays off twice.
藏着平方根的导数
- 反三角函数——$\arcsin$、$\arctan$ 等——撤销正弦、正切等。
- 它们的导数出奇地代数化:完全没有三角,只有幂和根号。
- 有两个值得直接背下来;其余遵循相同模式。
- 这些反三角函数之后会在积分里出现,所以知道它们的导数一举两得。
The two you must know
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Notice: $\arcsin$ has a root in the denominator; $\arctan$ has a clean $1+x^2$.
- Both are always positive on their domains — these inverses are increasing.
必须记住的两个
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$。
- 注意:$\arcsin$ 分母里有根号;$\arctan$ 是干净的 $1+x^2$。
- 两者在各自定义域上都恒正——这些反函数递增。
The arctangent's gentle slope · 反正切的平缓斜率
y = a·tanh(bx) (arctan-like shape) · y = a·tanh(bx)（类似反正切的形状）
$\arctan x$ rises fastest at $0$ (slope $1$) and flattens out — its derivative $\tfrac{1}{1+x^2}$ shrinks toward $0$. · $\arctan x$ 在 $0$ 处上升最快（斜率为 $1$），随后趋于平坦——其导数 $\tfrac{1}{1+x^2}$ 趋近于 $0$。
What is $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$? · $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$是什么？
$\arcsin$ has the root form $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. · $\arcsin$ 具有根式形式 $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
What is $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$? · $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$是什么？
$\arctan$ has the clean form $\tfrac{1}{1+x^2}$ (no root). · $\arctan$ 具有简洁形式 $\tfrac{1}{1+x^2}$（不含根号）。
The rest of the family
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — same as $\arcsin$ but negative.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — the negative of $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- The "co-" inverses carry a minus, echoing the ordinary trig pattern.
家族其余成员
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$——与 $\arcsin$ 相同但为负。
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$——$\arctan$ 的相反数。
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$。
- "反余-"函数带负号,呼应普通三角的模式。
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ is the ____ of $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (same magnitude, opposite sign). · $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ 是 $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ 的____（绝对值相同，符号相反）。
$\arccos$ carries the minus sign. · $\arccos$ 带有负号。
Select all · 所有 inverse-trig derivatives that contain a square root. · 选择所有包含平方根的反三角函数导数。
$\arcsin$, $\arccos$, and arcsec have roots; $\arctan$ is $\tfrac{1}{1+x^2}$ with no root. · $\arcsin$、$\arccos$ 和 arcsec 含有根号；$\arctan$ 是 $\tfrac{1}{1+x^2}$ 且不含根号。
Chain them up
- With the chain rule, replace $x$ by an inner function $u$ and multiply by $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Same routine as any chain-rule problem: outer formula, then $\times\,u'$.
串上链式法则
- 用链式法则,把 $x$ 换成内层函数 $u$,再乘以 $u'$。
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$。
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$。
- 和任何链式法则题一样:外层公式,然后 $\times\,u'$。
For · 支持 $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Find $y'$ at $x=0$. · 对于 $y=\arctan(3x)$，已知 $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$。求 $y'$ 在 $x=0$ 处的值。
At $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$. · 在 $x=0$ 处：$\tfrac{3}{1+0}=3$。
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (no inner factor). · $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$（内部无因子）。
The chain rule adds the inner derivative $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$. · 链式法则加上内部导数 $3$：$\tfrac{3}{1+9x^2}$。
Don't confuse the two shapes: $\arcsin$ gives $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (a root), while $\arctan$ gives $\frac{1}{1+x^2}$ (no root). And with the chain rule, never drop the inner derivative: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, not $\frac{1}{1+9x^2}$.
别把两种形状搞混:$\arcsin$ 给出 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$(带根号),而 $\arctan$ 给出 $\frac{1}{1+x^2}$(无根号)。用链式法则时,永远别丢内层导数:$\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$,不是 $\frac{1}{1+9x^2}$。
Differentiate $y=\arctan(x^2)$.
- Outer: $\arctan(u)$ with $u=x^2$, giving $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Inner derivative: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
对 $y=\arctan(x^2)$ 求导。
- 外层:$\arctan(u)$,$u=x^2$,给出 $\dfrac{1}{1+u^2}$。
- 内层导数:$u'=2x$。
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$。
Memorize $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ and $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. The "co-" inverses ($\arccos$, arccot) carry a minus. For composite inverse trigonometric functions, apply the chain rule — the standard formula times the inner derivative $u'$.
背下 $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 与 $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$。"反余-"函数($\arccos$、arccot)带负号。对复合的反三角函数,用链式法则——标准公式乘以内层导数 $u'$。