Integration (Further Pure 2) · 积分(Further Pure 2)
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 原函数 | yuán hán shù |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | 标准形式 | biāo zhǔn xíng shì |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 代换 | dài huàn |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | 双曲 | shuāng qū |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | 三角 | sān jiǎo |
| surd/sɜːd/ | 根式 | gēn shì |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | 递推公式 | dì tuī gōng shì |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧长 | hú zhǎng |
Integrals that fight back
- Some integrals have no obvious antiderivative 原函数 — until you spot the standard form 标准形式 or the right substitution 代换.
- Further Pure 2 gives you a toolkit: inverse-trig standard integrals, trig/hyperbolic 双曲 substitutions, and reduction formulae.
反击的积分
- 有些积分没有明显的反导数——直到你看出标准形式或正确的替换。
- Further Pure 2 给你一个工具包:反三角标准积分、三角/双曲替换,以及递推公式。
Standard integrals
- Two results worth memorising:
- Match the integral to the form, read off $a$, and write the answer.
A definite integral measures the area under a curve
标准积分
- 两个值得记住的结果:
- 把积分匹配到形式,读出 $a$,然后写出答案。
定积分测量曲线下的面积
The area under the curve · 曲线下的面积
area = ∫ f(x) dx
Every integral measures the area · 面积 under the curve — drag the limits. · 每个积分都测量曲线下的面积——拖动极限。
What is ∫ 1/(a² + x²) dx? · ∫ 1/(a² + x²) dx 是什么?
This is the standard inverse-tangent integral. · 这是标准的反正切积分。
What is ∫ 1/√(4 − x²) dx? · ∫ 1/√(4 − x²) dx 是什么?
With a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C. · 当 a = 2 时,∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C。
Match each integral to its result. · 把每个积分匹配到它的结果。
The first two are the inverse-trig standard forms; ∫1/x dx = ln|x| + C. · 前两个是反三角标准形式;∫1/x dx = ln|x| + C。
Substitution
- A trigonometric 三角 substitution ($x = a\sin\theta$ or $x = a\tan\theta$) turns a surd 根式 or quadratic denominator into something simple.
- A hyperbolic substitution ($x = a\sinh u$) handles $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Worked example. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Here $a^2 = 9$, so $a = 3$: the answer is $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
替换
- 一个三角替换($x = a\sin\theta$ 或 $x = a\tan\theta$)把一个根式或二次分母变成简单的东西。
- 一个双曲替换($x = a\sinh u$)处理 $\sqrt{a^2 + x^2}$。
例题。 $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$。这里 $a^2 = 9$,所以 $a = 3$:答案是 $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$。
In ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, what is a? · 在 ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C 中,a 是多少?
a² = 9 so a = 3; the integral is (1/3)tan⁻¹(x/3) + C. · a² = 9 所以 a = 3;积分是 (1/3)tan⁻¹(x/3) + C。
Reduction formulae
- A reduction formula 递推公式 links an integral $I_n$ to a lower one $I_{n-1}$ (or $I_{n-2}$).
- Apply it repeatedly to climb down to a base case you can integrate directly.
Don't lose the limits. For a definite integral, the boundary term in a reduction formula is evaluated at the limits each time — a common place to drop a sign or a factor.
递推公式
- 一个递推公式(reduction formula)把一个积分 $I_n$ 链接到一个更低的 $I_{n-1}$(或 $I_{n-2}$)。
- 反复应用它,向下爬到一个你能直接积分的基本情况。
不要丢失极限。 对一个定积分,递推公式中的边界项每次都在极限处求值——一个常见的丢符号或丢因子的地方。
A reduction formula links an integral Iₙ to Iₙ₋₁ so you can work down step by step. · 一个递推公式把一个积分 Iₙ 链接到 Iₙ₋₁,这样你能一步步向下做。
Reduction formulae express a higher-index integral in terms of a lower one. · 递推公式用一个更低指标的积分表示一个更高指标的积分。
Applications
- Integration also measures curves themselves:
- Arc length 弧长: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Surface area of revolution: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integrate using trigonometric substitutions, hyperbolic functions, and completing the square in the denominator.
应用
- 积分也测量曲线本身:
- 弧长(arc length):$\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$。
- 旋转曲面面积:$\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$。
- 用三角代换(trigonometric substitutions)、双曲函数(hyperbolic functions)和分母配方法(completing the square)积分。
Arc length is the integral of √(1 + ()²) dx. · 弧长是 √(1 + ()²) dx 的积分。
Arc length s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx. · 弧长 s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx。
You've got it
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- use a trig / hyperbolic substitution for surds and quadratic denominators
- a reduction formula steps $I_n$ down to $I_{n-1}$; integration also gives arc length and surface area
你掌握了
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$;$\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- 对根式和二次分母使用一个三角/双曲替换
- 一个递推公式把 $I_n$ 降到 $I_{n-1}$;积分也给出弧长和表面积