Hình học véc-tơ
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | cùng hướng (collinear) |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | véc-tơ vị trí |
| parallel/ˈpærəlel/ | song song |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | trung điểm |
Chứng minh các điểm thẳng hàng
- Làm thế nào để chứng minh ba điểm thẳng hàng (nằm trên cùng một đường)?
- Chỉ ra rằng véc-tơ từ điểm đầu tiên đến điểm thứ hai là bội vô hướng của véc-tơ từ điểm thứ hai đến điểm thứ ba.
Véc-tơ vị trí và $\overrightarrow{AB}$
- Véc-tơ vị trí của một điểm là véc-tơ từ gốc tọa độ $O$ đến điểm đó.
- Véc-tơ từ $A$ đến $B$:
Nếu $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ và $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, thì $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Hình học véc-tơ
hợp lực = a + b
Kết hợp các véc-tơ để đến một điểm — véc-tơ tổng hợp chính là đường đi trực tiếp.
Nếu a và b là các véc-tơ vị trí của A và B, thì véc-tơ AB là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
AB = (vị trí của B) − (vị trí của A) = b − a.
A có véc-tơ vị trí (1, 3) và B có véc-tơ vị trí (4, 7). Thành phần hàng trên của AB là gì?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
AB = b − a: hàng trên = 4 − 1 = 3.
Véc-tơ song song và các điểm thẳng hàng
- Hai véc-tơ song song nếu một véc-tơ là bội vô hướng của véc-tơ kia: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng nếu $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song và chung điểm $B$.
Song song riêng lẻ là chưa đủ. Hai véc-tơ có thể song song mà không cần các điểm thẳng hàng — chúng có thể nằm trên hai đường song song riêng biệt. Bạn cũng cần một điểm chung.
Hai véc-tơ song song nếu một véc-tơ là bội vô hướng của véc-tơ kia.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các véc-tơ song song cùng hướng (hoặc ngược hướng), nên một véc-tơ bằng k lần véc-tơ kia.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, hãy chứng minh các véc-tơ giữa chúng là ______ và chia sẻ một điểm chung.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ba điểm thẳng hàng có các véc-tơ giữa chúng song song VÀ chia sẻ một điểm chung.
Trung điểm của đoạn thẳng
- $M$ là trung điểm của $AB$, nơi $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- Véc-tơ vị trí của trung điểm là trung bình cộng của hai điểm đầu mút.
Độ lớn của một véc-tơ cột được tìm bằng định lý Pythagoras
M là trung điểm của AB. Véc-tơ vị trí OM là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
OM = a + ½(b − a) = ½(a + b).
A = (2, 4) và B = (8, 10). Tọa độ x của trung điểm M là gì?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½(2 + 8) = 5.
Tại sao véc-tơ lại quan trọng
- Trò chơi điện tử, động cơ vật lý và GPS đều sử dụng toán học véc-tơ để theo dõi vị trí và chuyển động.
Vectơ vị trí xác định các điểm trên lưới — nền tảng để chứng minh tính thẳng hàng và tìm trung điểm.
Một chứng minh vectơ hoàn chỉnh
- Nếu $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, và M là trung điểm của AB, thì $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$.
- Xác định C bởi $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. Khi đó $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. Hai vectơ bằng nhau chia sẻ cùng hướng và gặp nhau tại B, nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC (đối với A và B phân biệt).
A = (1,3), B = (4,7) và OC = 2OB − OA. Tìm tọa độ x của C.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
Bạn đã nắm vững
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (cuối cùng trừ đi ban đầu)
- vectơ song song là bội số vô hướng; đó là cách bạn chứng minh các điểm thẳng hàng
- trung điểm của $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$