Pythagoras và lượng giác trong không gian 3D

Đường chéo xuyên qua căn phòng

• Cọc dài nhất vừa khít bên trong hộp là bao nhiêu? Đó là đường chéo không gian — chạy từ một góc đến góc đối diện xa nhất.
• Pythagoras và lượng giác 3D rút gọn bài toán về một tam giác phẳng ẩn bên trong khối hình.

Chiến lược: tìm một tam giác bên trong

• Mọi bài toán 3D đều trở thành bài toán 2D: nhận diện một tam giác vuông bên trong khối hình, sau đó áp dụng Pythagoras hoặc lượng giác lên nó.
• Thường thì bạn sẽ tìm thấy đường chéo đáy trước, rồi đưa chiều cao vào để tạo thành tam giác thứ hai.

Ví dụ minh họa — đường chéo hộp

• Một hộp có đáy $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, chiều cao $5\text{ cm}$.
• Bước 1 — đường chéo đáy: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
• Bước 2 — đường chéo không gian: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.

Ví dụ minh họa — góc so với mặt đáy

• Đường chéo đáy ($10$) và chiều cao ($5$) tạo thành một tam giác vuông.
• $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, do đó $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.

Nơi lượng giác 3D xuất hiện

• Kiến trúc: góc xà ngang mái, đường chéo phòng.
• Kỹ thuật: độ dài thanh đỡ, góc cánh cẩu.

Pythagoras 3D thực chất là Pythagoras 2D được áp dụng hai lần — đầu tiên trên mặt đáy, sau đó kết hợp với chiều cao.

Bạn đã nắm vững