Định lý sin và định lý cos

Khi tam giác không vuông

• Pythagoras và SOH-CAH-TOA chỉ áp dụng được cho tam giác vuông.
• Đối với bất kỳ tam giác nào khác, bạn cần định lý sin hoặc định lý cos.

Định lý sin

• Đối với bất kỳ tam giác nào có các cạnh $a, b, c$ đối diện với các góc $A, B, C$:

• Sử dụng khi bạn biết: một cạnh và góc đối diện của nó, cộng thêm một thông tin khác.

$y=\sin x$ và $y=\cos x$ là các sóng mượt mà giữa $-1$ và $1$; cos là sin dịch sang trái $90^\circ$

Định lý cos

• Sử dụng khi bạn biết: hai cạnh và góc xen kẽ (để tìm cạnh thứ ba), hoặc cả ba cạnh (để tìm một góc).

Trong bất kỳ tam giác nào, các cạnh $a,b,c$ nằm đối diện với các góc $A,B,C$; định lý sin và cos sử dụng những điều này

Diện tích của bất kỳ tam giác nào

• Công thức này đúng cho bất kỳ tam giác nào (không chỉ tam giác vuông), sử dụng hai cạnh và góc xen kẽ.

Ví dụ minh họa

• $b = 7$, $c = 8$, góc xen kẽ $A = 40^{\circ}$.
• $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, nên $a = 5.2$ cm.

Định lý cos mở rộng Pythagoras: khi $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ và bạn thu được $a^2 = b^2 + c^2$.

Tìm một góc và kiểm tra khả năng còn lại

• Với các cạnh $a=5,b=7,c=8$, sử dụng $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Vậy $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
• Trong câu hỏi về quy tắc sin, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ dẫn đến $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Cả $B\approx36.9^{\circ}$ và $143.1^{\circ}$ đều để lại một góc thứ ba dương, nên hai tam giác là có thể xảy ra. Sử dụng bất kỳ điều kiện bổ sung nào, chẳng hạn như B là góc tù, để lựa chọn.

Diện tích với góc xen giữa

• Hai cạnh 7 cm và 8 cm tạo thành góc $40^{\circ}$. Sử dụng $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
• Góc phải nằm giữa hai cạnh đã sử dụng. Giữ chế độ độ và các giá trị lượng giác đầy đủ cho đến khi làm tròn cuối cùng.

Bạn đã nắm vững