Chiều dài và trung điểm

Khoảng cách thực sự là bao nhiêu?

• Điện thoại của bạn báo quán cà phê cách xa 1.2 km — nhưng đó là khoảng cách đường thẳng, không phải quãng đường đi bộ zic-zac dọc theo các con phố.
• Trong hình học tọa độ, chúng ta thường cần tính khoảng cách đường thẳng chính xác giữa hai điểm.
• Công cụ? Một định lý đã tồn tại 2500 năm.

Độ dài đoạn thẳng (Mở rộng)

• Một đoạn thẳng là phần nối trực tiếp giữa hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$.
• Vẽ tam giác vuông với đoạn thẳng là cạnh huyền:
• Khoảng cách ngang là $x_2 - x_1$ và khoảng cách dọc là $y_2 - y_1$.
• Theo định lý Pythagoras, độ dài là:

Khoảng cách ngang (3) và khoảng cách dọc (4) cho ta độ dài theo định lý Pythagoras; điểm giữa là trung bình cộng của các tọa độ

Ví dụ minh họa — độ dài

• Tìm độ dài từ $(1, 2)$ đến $(4, 6)$.
• Khoảng cách ngang $= 4 - 1 = 3$; khoảng cách dọc $= 6 - 2 = 4$.
• Độ dài $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
• Tam giác vuông 3-4-5 kinh điển tạo ra kết quả gọn gàng.

Pythagoras tìm độ dài (cạnh huyền); trung bình cộng tìm điểm giữa (ngôi sao).

Điểm giữa của đoạn thẳng (Mở rộng)

• Điểm giữa là điểm nằm chính giữa hai đầu mút.
• Tìm nó bằng cách trung bình cộng từng tọa độ:

• Đó là "nửa" $x$ ghép với "nửa" $y$.

Ví dụ minh họa — điểm giữa

• Tìm điểm giữa từ $(1, 2)$ đến $(4, 6)$.
• Mid-$x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
• Mid-$y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
• Điểm giữa $= (2.5,\, 4)$ — chính giữa dọc theo đường thẳng.

Họ tam giác 3-4-5

• Tam giác có cạnh $3, 4, 5$ là tam giác vuông nhỏ nhất có cạnh số nguyên.
• Các bội số cũng hoạt động: $6, 8, 10$ và $9, 12, 15$ cũng là tam giác vuông.
• Bạn sẽ thấy họ này rất nhiều trong đề thi — hãy nhận diện để tiết kiệm thời gian.

Bạn đã nắm vững