Hệ số góc
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| rise/raɪz/ | độ cao |
| run/rʌn/ | độ rộng |
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | hệ số góc |
Con đường dốc nhất trên Trái Đất
- Đường Baldwin ở Dunedin, New Zealand, cao lên 35 m cho mỗi 100 m chạy dọc theo mặt đất.
- Tỷ lệ đó — độ cao độ ngang — chính là điều mà các nhà toán học gọi là độ dốc.
- Một con số duy nhất cho bạn biết chính xác độ dốc của một thứ gì đó, dù đó là đường phố, mái nhà hay đường thẳng trên đồ thị.
Độ dốc đo lường điều gì
- Độ dốc $m$ cho bạn biết hai điều về một đường thẳng:
- Độ dốc của nó (giá trị tuyệt đối của độ dốc càng lớn thì đường càng xiên).
- Hướng di chuyển của nó (dương = đi lên bên phải, âm = đi xuống bên phải).
- Một hệ số góc $0$ có nghĩa là đường thẳng hoàn toàn nằm ngang — không có độ dốc nào.
Một đèo núi cao: hệ số góc đo độ dốc theo tỷ lệ giữa độ cao và chiều ngang
Hệ số góc
y = ax + b
Hệ số góc a đo độ dốc — độ cao chia cho độ dài.
Một đường thẳng đi xuống khi di chuyển sang phải có hệ số góc là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đi xuống bên phải nghĩa là sự thay đổi của y là âm đối với sự thay đổi dương của x, nên hệ số góc là âm.
Hệ số góc của đường thẳng ngang là 0.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đường thẳng ngang không có sự thay đổi dọc (độ cao = 0), nên m = 0/chiều dài = 0.
Độ dốc từ lưới tọa độ; tọa độ trong phần Mở rộng
- Chọn bất kỳ hai điểm nào trên đường thẳng, $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$:
- Độ cao (rise) là khoảng cách dọc giữa các điểm; chiều ngang (run) là khoảng cách ngang.
Tam giác hệ số góc: đếm số ô đi lên (độ cao) và sang ngang (chiều ngang), sau đó thực hiện phép chia.
Hoàn thiện công thức: m = (y₂ − y₁) / (? − x₁).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Công thức đầy đủ là m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Mẫu số là sự thay đổi của x, tức là x₂ − x₁.
Ví dụ minh họa
- Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua $(1, 2)$ và $(4, 11)$.
- Độ cao $= 11 - 2 = 9$; chiều ngang $= 4 - 1 = 3$.
- $m = \dfrac{9}{3} = 3$.
- Đường thẳng leo cao $3$ đơn vị lên trên cho mỗi $1$ đơn vị sang ngang — khá dốc.
Kiểm tra nhanh. Đi qua $(0, 1)$ và $(2, 7)$: độ cao $= 7 - 1 = 6$, chiều ngang $= 2 - 0 = 2$, nên $m = \dfrac{6}{2} = 3$. Cùng hệ số góc, cùng độ dốc — nhưng là đường thẳng khác.
Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua (1, 2) và (4, 11).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(11 − 2)/(4 − 1) = 9/3 = 3.
Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua (0, 1) và (2, 7).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(7 − 1)/(2 − 0) = 6/2 = 3.
Bẫy trong phép trừ
- Bạn phải thực hiện phép trừ theo cùng một thứ tự cho cả hai tọa độ:
- $(y_2 - y_1)$ ghép với $(x_2 - x_1)$, hoặc $(y_1 - y_2)$ ghép với $(x_1 - x_2)$.
- Trộn lẫn thứ tự sẽ đảo dấu và dẫn đến hệ số góc sai.
Lỗi thường gặp. Qua $(1, 2)$ và $(4, 11)$: nếu bạn viết $\dfrac{11 - 2}{1 - 4} = \dfrac{9}{-3} = -3$ thì bạn đã nhầm lẫn thứ tự — bạn lấy $y_2 - y_1$ ở trên nhưng $x_1 - x_2$ ở dưới. Hãy chọn một điểm làm "đầu tiên" và nhất quán với nó.
Hệ số góc trong thực tế
- Biển báo đường bộ thể hiện hệ số góc dưới dạng phần trăm: một con dốc 10% sẽ nâng cao 10 m cho mỗi 100 m chạy dọc theo.
- Ramp xe lăn phải có hệ số góc tối đa là $\dfrac{1}{12}$ (khoảng 8%) — đây là quy định xây dựng ở nhiều quốc gia.
- Độ dốc mái nhà cũng là một độ dốc — mái càng dốc thì nước mưa chảy xuống越快越快越快.
Nối mỗi mô tả với tính chất hệ số góc đúng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Dương = đi lên bên phải; bằng 0 = nằm ngang; âm = đi xuống bên phải; độ lớn lớn hơn nghĩa là độ dốc dốc hơn.
Bạn đã nắm vững
- độ dốc $m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- độ dốc dương → đường đi lên bên phải; độ dốc âm → đi xuống bên phải; bằng không → nằm ngang
- trừ theo cùng thứ tự cho cả hai tọa độ — nhầm lẫn thứ tự sẽ làm đảo ngược dấu
- qua $(1,2)$ và $(4,11)$: $m = \dfrac{9}{3} = 3$