Vi phân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | vi phân tích |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | vi phân |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | điểm dừng |
Độ dốc thay đổi
- Một đường thẳng có cùng độ dốc ở mọi nơi. Một đường cong có độ dốc khác nhau tại mỗi điểm.
- Newton và Leibniz đã sáng lập vi phân tích để trả lời: "Độ dốc của đường cong ngay tại đây là gì?" Câu trả lời là đạo hàm.
Quy tắc lũy thừa
- Nếu $y = ax^n$, thì $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- Bằng lời nói: đưa số mũ xuống làm hệ số, sau đó giảm đi một đơn vị.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Đạo hàm từng số hạng — mỗi số hạng được xử lý độc lập.
Độ dốc của đường cong tại một điểm chính là độ dốc của tiếp tuyến tại đó, điều này vi phân tìm ra
Độ dốc tại một điểm
gradient = dy/dx
Kéo điểm — độ dốc của tiếp tuyến chính là hệ số góc tại đó.
Nếu y = x³ + 2x² − 5x, thì dy/dx = 3x² + 4x − 5. Giá trị của nó tại x = 1 là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
Đối với hàm số y = axⁿ, trong đó n là một số nguyên dương, đạo hàm sẽ là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rút số mũ xuống và giảm đi 1: a·n·xⁿ⁻¹.
Nếu y = 4x³, thì dy/dx tại x = 2 là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 12x². Tại x = 2: 12(4) = 48.
Đạo hàm của y = x⁵ là dy/dx = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Quy tắc số mũ: rút 5 xuống, giảm số mũ: 5x⁴.
Các trường hợp đặc biệt
- $y = c$ (một hằng số) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (một đường ngang có độ dốc bằng 0).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (một đường thẳng có độ dốc không đổi).
- Quy tắc lũy thừa IGCSE ở đây áp dụng cho các lũy thừa nguyên không âm và tổng tối đa ba số hạng; việc đạo hàm các hàm nghịch đảo nằm ngoài phạm vi chương trình học.
Đừng quên số hạng tự do. Đạo hàm của $x^2 + 7$ là $2x$, không phải $2x + 7$. Đạo hàm của một hằng số luôn luôn bằng không.
Đạo hàm của y = x² + 7 là 2x + 7.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm của hằng số bằng 0. Vậy dy/dx = 2x, không phải 2x + 7.
Điểm dừng
- Điểm dừng là nơi $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — đường cong tạm thời nằm ngang.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- Tại $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Điểm cực trị: $(3, -4)$.
Một điểm dừng là nơi đường cong tạm thời nằm ngang — độ dốc (đạo hàm) bằng 0.
Đồ thị y = x² − 6x + 5 có một điểm cực trị. Tại giá trị x nào (dy/dx = 0)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 2x − 6 = 0 cho x = 3.
Tại sao vi phân lại quan trọng
- Vật lý: vận tốc là đạo hàm của vị trí; gia tốc là đạo hàm của vận tốc.
- Kinh tế học: chi phí biên là đạo hàm của tổng chi phí — chi phí cho một đơn vị thêm vào.
- Tối ưu hóa: để tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí, đặt đạo hàm bằng 0.
Tiếp tuyến ước lượng độ dốc của đường cong
- Vẽ tiếp tuyến chạm vào đường cong tại điểm yêu cầu, sau đó chọn hai điểm rõ ràng trên tiếp tuyến, không phải hai điểm tùy ý trên đường cong. Tính tỷ số giữa độ cao (rise) chia cho độ dài ngang (run).
- Đối với $y=x^2$ tại $(2,4)$, tiếp tuyến đi qua $(1,0)$ và $(3,8)$ có độ dốc là $m=(8-0)/(3-1)=4$. Phép đạo hàm xác nhận $dy/dx=2x=4$ tại $x=2$.
Tiếp tuyến đi qua hai điểm (1,0) và (3,8). Tìm hệ số góc của nó.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Độ cao 8 chia cho chiều ngang 2 cho kết quả là 4.
Minimum hay maximum?
- Đối với $y=x^2-6x+5$, đạo hàm là $2x-6$. Giá trị này âm tại $x=2$, bằng 0 tại 3 và dương tại 4: đường cong giảm rồi tăng nên tạo thành một điểm cực tiểu tại $(3,-4)$.
- Đối với $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Giá trị dương tại 1 và âm tại 3 tạo ra một điểm cực đại tại $x=2$, nơi $y=5$.
Đối với y = −x² + 4x + 1, tìm tọa độ y của điểm cực đại.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = −2x + 4 bằng 0 tại x = 2; thay vào ta có y = −4 + 8 + 1 = 5.
Bạn đã nắm vững
- quy tắc lũy thừa: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- đạo hàm của một tổng từng số hạng; đạo hàm của hằng số là không
- một điểm dừng là nơi $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$