Dãy số

Dự đoán tương lai

• Hoa hướng dương tạo thêm một vòng cánh hoa theo quy luật Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
• Dãy số là các quy luật trong dãy số. Khi biết quy tắc, bạn có thể dự đoán bất kỳ số hạng nào — thậm chí cả triệu thứ.

Quy tắc số hạng sang số hạng

• Các cấp số cộng đơn giản nhất là cộng (hoặc trừ) một lượng cố định mỗi lần: $2, 5, 8, 11, \dots$ tăng lên theo $3$.
• Đây là quy tắc số hạng sang số hạng (sự chênh lệch chung).

Bông cải Romanesco: các xoắn ốc tự tương đồng tạo thành quy luật số tự nhiên

Số hạng thứ n (quy tắc vị trí sang số hạng)

• Đối với dãy số bậc nhất (chênh lệch không đổi $d$), số hạng thứ n là $dn + c$.
• $2, 5, 8, 11, \dots$: chênh lệch $d = 3$, số hạng đầu $= 2$, nên $3n - 1$.
• Kiểm tra: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.

Dãy bậc hai đơn giản

• Khi chênh lệch bậc nhất thay đổi nhưng chênh lệch bậc hai không đổi, đó là dãy số bậc hai.
• $2, 5, 10, 17, \dots$: chênh lệch bậc nhất $3, 5, 7$; chênh lệch bậc hai $2, 2$.
• Hệ số $n^2$ bằng một nửa hiệu bậc hai thứ hai: $\dfrac{2}{2} = 1$, vì vậy hệ số $n^2$ là $n^2$.
• Điều chỉnh: $n^2 + 1$ cho kết quả $2, 5, 10, 17$. ✓

Trục số cũng thể hiện quy luật: trong dãy số bậc hai, khoảng cách giữa các số hạng tăng đều đặn.

Dãy số nhân

• Mỗi số hạng được nhân với một tỷ lệ cố định: $3, 6, 12, 24, \dots$ (nhân với 2 mỗi lần).
• Số hạng thứ n là $a \times r^{n-1}$, trong đó $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là công bội.
• $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓

L水乡立方体 và kiểm tra số hạng

• Phần Cốt lõi bao gồm dãy lập phương đơn giản. $3,10,29,66$ lớn hơn $1^3,2^3,3^3,4^3$ 2 đơn vị, nên $u_n=n^3+2$. Hạng thứ năm là $u_5=125+2=127$.
• Đối với $u_n=4n+3$, thử xem 100 có phải là một hạng hay không sẽ cho kết quả $4n+3=100$, nên $n=24.25$. Số hạng phải là số nguyên dương, do đó 100 không nằm trong dãy này.

Bạn đã nắm vững