Phương trình

Nghệ thuật cổ xưa về cân bằng

• Từ "phương trình" đến từ "bằng nhau" — cả hai vế phải giống hệt nhau, giống như một cái cân.
• Người Babylon giải phương trình tuyến tính từ 4000 năm trước bằng các tấm bảng đất nung. Ngày nay chúng ta vẫn dùng nguyên tắc tương tự: làm cùng một phép toán lên cả hai vế.

Phương trình tuyến tính

• Giải bằng cách thực hiện cùng một phép toán lên cả hai vế cho đến khi ẩn số đứng độc lập.
• $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.

Giải bằng cách làm cùng một phép toán lên cả hai vế

Hệ phương trình đồng thời

• Hai phương trình, hai ẩn. Triệt tiêu một biến bằng cách cộng hoặc trừ.
• $2x + y = 7$ và $3x - y = 8$: cộng lại cho ta $5x = 15$, suy ra $x = 3$, rồi $y = 1$.

Phương trình bậc hai (Nâng cao)

• Một phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có thể có hai, một hoặc không có nghiệm thực nào.
• Bằng cách phân tích thành nhân tử: $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2$ hoặc $x = -3$.
• Bằng công thức: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (được cung cấp trong đề thi).

Nghiệm của phương trình bậc hai là nơi đồ thị hàm số cắt trục $x$ — tức là các nghiệm của $y = 0$.

Lũy thừa trong việc biến đổi công thức (Nâng cao)

• Chọn một biến làm đề bằng cách đảo ngược các phép toán đã thực hiện lên biến đó.
• Biến $r$ thành chủ thể của $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$: $\;r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}$, vì vậy $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.

Lập phương trình, sau đó chọn phương pháp

• Một bài toán vé cho $2a+c=31$ và $a+2c=26$. Nhân đôi giá trị thứ hai rồi trừ đi giá trị đầu tiên: $3c=21$, do đó $c=7$, sau đó $a=12$. Kiểm tra lại cả hai tổng ban đầu.
• Biến đổi cơ bản: $C=5t+8$ dẫn đến $C-8=5t$, sau đó $t=(C-8)/5$. Chủ thể xuất hiện một lần và không có lũy thừa hay căn bậc.

Hoàn thành bình phương và công thức (Nâng cao)

• $x^2+6x+5=0$ trở thành $(x+3)^2-4=0$, nên $x+3=\pm2$, từ đó thu được $x=-1,-5$.
• Đối với $2x^2+x-3=0$, chọn $a=2,b=1,c=-3$ trong $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$. Như vậy $x=(-1\pm5)/4=1,-1.5$. Thay thế để kiểm chứng từng nghiệm.

Phương trình phân thức (Nâng cao)

• Đối với $x/(x+2)=3/5$, loại bỏ $x=-2$. Nhân cả hai vế với $5(x+2)$: $5x=3(x+2)$, suy ra $2x=6$ và $x=3$. Kiểm tra $3/5=3/5$.
• Đối với $2/(x+1)+1/(x-1)=1$, loại bỏ $x=-1,1$. Nhân cả hai vế với $(x+1)(x-1)$: $2(x-1)+(x+1)=x^2-1$. Điều này dẫn đến $x^2-3x=0$, nên $x=0$ hoặc 3; cả hai đều hợp lệ.

Một đường thẳng và một đường cong (Nâng cao)

• Giải $y=x+2$ và $y=x^2$ bằng cách thay thế: $x^2=x+2$, nên $(x-2)(x+1)=0$. Do đó $x=2$ hoặc $-1$.
• Tìm $y$ tương ứng cho mỗi cặp: các cặp là $(2,4)$ và $(-1,1)$. Không trộn lẫn một nghiệm với giá trị $y$ của nghiệm kia.

Một chủ đề xuất hiện hai lần (Nâng cao)

• Sắp xếp lại $y=(3x+2)/(x-1)$ để tìm $x$: $y(x-1)=3x+2$, sau đó $yx-3x=y+2$.
• Phân tích nhân tử của chủ đề: $x(y-3)=y+2$, thu được $x=(y+2)/(y-3)$, $y\ne3$. Điều kiện ban đầu cũng yêu cầu $x\ne1$.

Bạn đã nắm vững