Tăng trưởng và suy giảm hàm mũ
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | Tăng trưởng hàm mũ |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | Hàm mũ |
| decay/dɪˈkeɪ/ | Suy giảm |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | Giảm giá trị |
| half-life/hɑːf laɪf/ | Nửa đời |
Một vi khuẩn trở thành tỷ
- Một vi khuẩn phân chia sau mỗi 20 phút. Sau 10 giờ (30 lần phân chia), một tế bào trở thành $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — hơn một tỷ.
- Đó là tăng trưởng mũ: cùng một mức tăng phần trăm trong mỗi chu kỳ, tích lũy theo cấp số nhân.
- Tăng trưởng tuyến tính cộng thêm một lượng cố định; tăng trưởng mũ nhân lên — và cuối cùng nó luôn thắng.
Công thức lãi kép
- Khi một đại lượng thay đổi theo cùng một phần trăm mỗi chu kỳ:
- $P$ = giá trị ban đầu, $r$ = tỷ lệ phần trăm mỗi chu kỳ, $t$ = số chu kỳ.
- Tăng trưởng: $r > 0$; suy giảm: $r < 0$ (hoặc dùng nhân tử dưới 1).
Tăng trưởng mũ (đường cong) bắt đầu chậm nhưng cuối cùng vượt xa tăng trưởng tuyến tính (đường thẳng).
Lãi suất kép
Tiền tăng theo (1 + r) mỗi năm, nên đường cong lãi suất kép nằm trên lãi suất đơn. Kéo tỷ lệ và số năm.
Tăng trưởng & suy giảm hàm mũ
y = a·bˣ
Thay đổi cơ số b: b > 1 tăng, 0 < b < 1 giảm — hữu ích cho lãi suất và dân số.
Một chiếc xe mất 15% giá trị mỗi năm. Thừa số hàng năm bạn sử dụng là gì?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Mất đi 15% còn lại 85%, nên thừa số là 0.85.
Sự giảm giá của một chiếc xe mỗi năm là ví dụ về:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mất đi một tỷ lệ phần trăm cố định mỗi năm là suy giảm hàm mũ (thừa số < 1, được áp dụng lặp lại).
Công thức tăng trưởng lãi suất kép là: cuối cùng = P × (1 + ______)^t, trong đó r là tỷ lệ phần trăm.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tỷ lệ r% phải được chuyển đổi sang thập phân: r/100. Vậy thừa số là (1 + r/100).
Suy giảm mũ và khấu hao
- Suy giảm hoạt động tương tự với nhân tử dưới 1.
- Một chiếc xe trị giá 20 000 mất 15% mỗi năm → nhân tử $0.85$.
- Sau 4 năm: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Nửa đời sống. Một đồng vị phóng xạ suy giảm 10% mỗi năm. "Nửa đời sống" (thời gian để giảm một nửa) là $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ năm — bạn có thể tìm thấy bằng cách giải $0.9^t = 0.5$.
Một chiếc xe có giá 20000 giảm giá 15% mỗi năm. Giá trị sau 4 năm (làm tròn đến bội số gần nhất của 10) là:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
Ví dụ minh họa
- Dân số 5000 tăng 8% mỗi năm. Sau 6 năm:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Lãi kép ≠ lãi đơn. 8% mỗi năm trong 6 năm không phải $8 \times 6 = 48\%$ tổng (điều đó sẽ cho $5000 \times 1.48 = 7400$). Lãi kép tạo ra $58.7\%$ tổng — gần 11% nhiều hơn, vì sự tăng trưởng mỗi năm cũng sinh ra tăng trưởng.
Một quần thể 5000 tăng 8% mỗi năm. Dân số sau 6 năm (làm tròn đến số nguyên gần nhất) là:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
Tăng trưởng 8% mỗi năm trong 6 năm cho tổng tăng chính xác là 48%.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lãi suất kép mang lại 1.08⁶ ≈ 1.587, tức tăng 58.7% — nhiều hơn 48% vì sự tăng trưởng tạo ra thêm tăng trưởng.
Nơi tăng trưởng mũ xuất hiện
- Đại dịch: sự lây lan ban đầu thường mang tính mũ (mỗi người nhiễm bệnh lây传给 người khác).
- Đầu tư: lãi suất kép là sự tăng trưởng mũ của tiền bạn.
- Công nghệ: Định luật Moore dự đoán sức mạnh tính toán tăng gấp đôi sau mỗi ~2 năm trong nhiều thập kỷ.
Bạn đã nắm vững
- Thay đổi mũ sử dụng công thức lãi kép $P(1 + r/100)^t$
- tăng trưởng = nhân tử $> 1$; suy giảm/khấu hao = nhân tử $< 1$
- Mất 15% mỗi năm → nhân tử $0.85$; sau 4 năm: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- Tăng trưởng mũ cuối cùng luôn chiến thắng tăng trưởng tuyến tính — lãi kép sinh ra tăng trưởng trên chính tăng trưởng.