Các loại số

Một câu hỏi làm khó người Hy Lạp cổ đại

• Mọi số đều là phân số không? Người Hy Lạp nghĩ vậy — cho đến khi ai đó chứng minh rằng $\sqrt{2}$ không thể được viết dưới dạng $\dfrac{a}{b}$.
• Truyền thuyết kể rằng người tìm ra chân lý khó chịu này đã bị ném xuống biển.
• Ngày nay, chúng ta phân loại số thành các nhóm, và sự chia cắt ấy — số hữu tỷ vs vô tỷ — vẫn là ranh giới lớn nhất.

Các nhóm số

• Số tự nhiên $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — các số dùng để đếm (một số định nghĩa bao gồm cả $0$).
• Số nguyên $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — các số nguyên, bao gồm số dương, số âm và số không.
• Số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ — bất kỳ số nào có thể được viết $\dfrac{a}{b}$ trong đó $a, b$ là số nguyên và $b \neq 0$.
• Số vô tỷ — tất cả các số còn lại ($\pi$, $\sqrt{2}$, $e$): chúng không thể biểu diễn dưới dạng phân số.

Natural → Integer → Rational, mỗi lớp là một họ số lớn hơn. Số vô tỷ sống bên ngoài.

Ước, bội và số nguyên tố

• Một ước của $n$ chia hết cho $n$. Các ước của $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
• Một bội của $n$ là $n \times$ nhân với một số nguyên. Các bội của $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$.
• Một số nguyên tố có đúng hai ước: $1$ và chính nó.
• $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ là số nguyên tố. $1$ không phải là số nguyên tố (chỉ có một ước).

Mọi số tự nhiên đều là số nguyên, mọi số nguyên đều là số hữu tỉ, và mọi số hữu tỉ đều là số thực; các số vô tỉ như $\pi$ và $\sqrt{2}$ là số thực nhưng không phải số hữu tỉ

Phân tích thừa số nguyên tố, ƯCLN và BCNN

• Viết bất kỳ số nào dưới dạng tích các số nguyên tố: $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.
• ƯCLN (Ước chung lớn nhất): lấy lũy thừa thấp nhất của mỗi thừa số nguyên tố chung.
• ƯCLN của $72$ và $120$ là $= 2^3 \times 3 = 24$.
• BCNN (Bội chung nhỏ nhất): lấy lũy thừa cao nhất của mọi thừa số nguyên tố xuất hiện.
• BCNN của $72$ và $120$ là $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$.

Tiếp tục phân tách cho đến khi mọi nhánh kết thúc ở một số nguyên tố (nằm trong vòng tròn); thu thập chúng sẽ cho $72 = 2^3 \times 3^2$

Sự thật thú vị

• Có vô hạn số nguyên tố (Euclid đã chứng minh điều này khoảng năm 300 TCN).
• Số nguyên tố lớn nhất được biết (tính đến năm 2024) có hơn 41 triệu chữ số — đó là $2^{136{,}279{,}841} - 1$, một số Mersenne.

nghịch đảo và vị trí

• nghịch đảo của một số khác không nhân với nó để thu được 1: đối với $3/7$ thì là $7/3$, vì $(3/7)(7/3)=1$. Số không có nghịch đảo.
• Nhóm các số lớn theo hàng nghìn: 6000042 là sáu triệu và bốn mươi hai. $6\,000\,042=6(1\,000\,000)+42$; các số không giữ chỗ cho các giá trị vị trí bị thiếu.

Bạn đã nắm vững