Tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | tích phân từng phần |
The product rule, run backward
- The chain rule reversed gave u-substitution. What reverses the product rule? Integration by parts 分部积分法.
- It handles integrals of a product that substitution can't crack — like $\int x e^x\,dx$.
- The trick: trade a hard integral for an easier one by moving the derivative from one factor to the other.
- It's the BC workhorse for products of unlike functions.
Tích phân từng phần là quy tắc ngược lại của quy tắc nào?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó đảo ngược quy tắc tích.
The formula
- From the product rule, integrated:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- You pick part of the integrand to be $u$ (which you'll differentiate) and the rest to be $dv$ (which you'll integrate).
- Then $du=u'\,dx$ and $v=\int dv$, and you assemble $uv-\int v\,du$.
Một tích cần tích phân
y = a·e^{bx}
Tích phân từng phần trao $\int x e^x$ để lấy $\int e^x$ dễ hơn — di chuyển đạo hàm khỏi nhân tử đại số.
Công thức tích phân từng phần là $\int u\,dv=$
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (lưu ý dấu trừ).
Choosing $u$ and $dv$ wisely
- Aim to make the new integral $\int v\,du$ simpler than the original.
- A helpful priority for $u$ (LIATE): Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential — pick $u$ from earliest on this list.
- So in $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algebraic) and $dv=e^x\,dx$.
- A good choice collapses the problem; a bad choice makes it worse.
Đối với $\int x e^x\,dx$, một lựa chọn tốt là $u=$
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Theo LIATE, nhân tử đại số $x$ được chọn làm $u$; $dv=e^x\,dx$.
Mẹo nhớ phổ biến để chọn $u$ là ____ (L-I-A-T-E).
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Logarit, Nghịch lượng giác, Đại số, Lượng giác, mũ.
Bạn nên chọn $u$ và $dv$ sao cho tích phân mới $\int v\,du$ đơn giản hơn tích phân ban đầu.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đó chính là mục đích của việc lựa chọn.
Sometimes repeat, sometimes loop
- If $\int v\,du$ is still a product, apply integration by parts again.
- For $\int x^2 e^x\,dx$ you'd use it twice, peeling one power of $x$ each time.
- A few integrals (like $\int e^x\sin x\,dx$) loop back to the original — solve algebraically for it.
- Keep $u,du,v,dv$ neatly labeled to avoid sign errors.
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
Choose $u$ and $dv$ so that $\int v\,du$ is simpler — the wrong pick can make it harder or send you in circles. Don't forget the minus sign: the formula is $uv-\int v\,du$. And $v$ is any antiderivative of $dv$ (drop its $+C$ until the very end of a definite/indefinite result).
Evaluate $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Let $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Then $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Integration by parts reverses the product rule: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Choose $u$ (to differentiate) and $dv$ (to integrate) — via LIATE — so that $\int v\,du$ is simpler. Mind the minus sign, and apply it repeatedly (or solve the loop) when needed.