Kết nối Giới hạn Vô cực và Tiếp tuyến Ngang
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | hành vi cuối cùng |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | giới hạn tại vô cực |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | tiệm cận ngang |
Thu phóng: điều gì xảy ra ở xa?
- Thay vì $x\to c$, giờ hãy để $x$ chạy ra $+\infty$ hoặc $-\infty$.
- Điều này mô tả hành vi cuối của hàm — hình dạng của nó ở phía trái xa và phía phải xa.
- Chúng ta viết $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$: khi $x$ tăng lên lớn, $f$ ổn định tiến tới $L$.
- Đây là giới hạn tại vô cực, và chúng tiết lộ xu hướng ngang.
Cuộc đua giữa các lũy thừa cao nhất
- Đối với hàm hữu tỷ, hành vi cuối là cuộc đua giữa bậc của tử và mẫu.
- Mẫu thắng (mẫu có bậc cao hơn): $f\to0$. Ví dụ $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- Hòa (bậc bằng nhau): $f\to$ tỷ lệ các hệ số hàng đầu. Ví dụ $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- Tử thắng (tử có bậc cao hơn): $f\to\pm\infty$ — không có tiệm cận ngang (nó tăng).
Một đường cong phẳng ở xa
y = a / (x − b) + d
Trượt $x$ về phía các cạnh — một đường cong kiểu nghịch đảo phẳng dần về một tiếp tuyến ngang khi $x\to\pm\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$ là gì?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bậc của mẫu số cao hơn, nên phân thức co dần về $0$.
Chọn tất cả các hàm hữu tỷ có tiếp tuyến ngang $y=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bậc mẫu số cao hơn → $y=0$. Thứ ba bằng nhau về bậc, tạo ra $y=3$ thay vì thế.
Tiệm cận ngang
- Nếu $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ (một số hữu hạn), đường thẳng $y=L$ là một tiệm cận ngang.
- Đồ thị dẹt ra và chạy song song với $y=L$ ở xa gốc tọa độ.
- Mẹo: chia hết các số hạng cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, sau đó đưa $x\to\infty$ (mỗi $\tfrac1{x^n}\to0$).
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bậc bằng nhau → tỷ lệ các hệ số bậc cao nhất $\frac31=3$.
Một giới hạn hữu hạn vô cực, $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$, tạo ra một ____ tiếp tuyến $y=L$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đồ thị phẳng dần về $y=L$.
Hai đầu có thể khác nhau
- Một hàm có thể tiến tới một giá trị khi $x\to+\infty$ và một giá trị khác khi $x\to-\infty$.
- $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ ở bên phải nhưng $\to-\tfrac{\pi}{2}$ ở bên trái — hai tiệm cận ngang.
- Vì vậy luôn kiểm tra cả hai hướng; đừng giả định tính đối xứng.
- Khác với tiệm cận đứng (đứt gãy ở giữa), tiệm cận ngang liên quan đến xu hướng ở xa, và một đường cong thậm chí có thể cắt qua nó.
Một đồ thị có thể cắt ngang tiếp tuyến ngang của nó ở giữa và vẫn tiến gần nó ở hai đầu.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tiếp tuyến ngang chỉ mô tả hành vi ở xa; việc cắt ngang ở giữa là được phép.
Đối với $\arctan x$, hai giới hạn $\lim_{x\to+\infty}$ và $\lim_{x\to-\infty}$ là...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hai đầu cuối có thể khác nhau — ở đây có hai tiếp tuyến ngang.
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là hai sinh vật khác nhau. Đứng ($x=c$): đầu ra bùng nổ tại một đầu vào cụ thể — đồ thị bao giờ cũng không cắt qua nó. Ngang ($y=L$): xu hướng ở xa khi $x\to\pm\infty$ — đồ thị có thể cắt qua nó ở giữa và vẫn tiến tới nó ở các đầu.
Tìm $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$ và tiệm cận ngang.
- Bậc hòa (cả hai $2$), nên chia cho $x^2$: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- Khi $x\to\infty$, các số hạng $\tfrac3x$ và $\tfrac7{x^2}$ $\to0$.
- Giới hạn $=\dfrac{2}{5}$, nên $y=\tfrac25$ là tiệm cận ngang.
Giới hạn tại vô cực mô tả hành vi cuối. Đối với hàm hữu tỷ: mẫu thắng → $0$; bậc hòa → tỷ lệ hệ số hàng đầu; tử thắng → $\pm\infty$ (không có tiệm cận ngang). Một số hữu hạn $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ tạo ra tiệm cận ngang $y=L$, và hai đầu có thể khác nhau.