Loại bỏ Điểm gián đoạn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | hàm phân mảnh |
Ch vái lỗ hổng
- Một gián đoạn có thể loại bỏ được là một lỗ hổng nơi giới hạn tồn tại nhưng giá trị hàm sai hoặc bị thiếu.
- Vì giới hạn là một con số hoàn toàn hợp lệ, bạn có thể định nghĩa lại hàm tại điểm duy nhất đó để lấp đầy lỗ hổng.
- Đặt giá trị của điểm bằng với giới hạn — đường cong giờ đây sẽ chảy mượt mà qua đó.
- Đây là việc sửa chữa tính liên tục: chỉ khả thi đối với loại gián đoạn có thể loại bỏ được.
Đường cong nằm sau lỗ hổng
y = x + 3
Hàm đã rút gọn $y=x+3$ là một đường thẳng — việc lấp đầy lỗ hổng chỉ đơn giản là vẽ điểm mà đường thẳng đó đã đi qua.
Giải tìm hằng số bí ẩn
- Thường thì một hàm chia nhỏ có một hằng số chưa biết $k$, và bạn phải chọn $k$ để làm cho hàm liên tục.
- Quy tắc là điều kiện (3): làm cho giới hạn bằng với giá trị hàm tại điểm nối.
- Đưa hai phần tử bằng nhau tại điểm nối và giải tìm $k$.
- Một phương trình, một ẩn số — phép đại số gọn gàng.
Để làm cho hàm phân mảnh liên tục tại đường nối, hãy đặt giới hạn bằng giá trị của hàm ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đó là điều kiện liên tục (3): giới hạn $=$ giá trị.
Một mẫu hình đã giải
- Giả sử $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ cần liên tục tại $x=2$.
- Giới hạn bên trái: $2+k$. Giá trị bên phải: $3(2)-1=5$.
- Tính liên tục đòi hỏi $2+k=5$, do đó $k=3$.
- Với $k=3$, hai phần tử gặp nhau chính xác — không có bước nhảy, tạo thành một hàm liên tục.
Để $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ liên tục tại $x=2$, hãy tìm $k$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đặt các thành phần bằng nhau tại $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Hiểu rõ điều gì không thể sửa chữa
- Chỉ những lỗ hổng có thể loại bỏ được mới sửa chữa được — giới hạn phải đã tồn tại trước đó.
- Một bước nhảy (hai giới hạn một phía không bằng nhau) tạo ra một khoảng trống có chiều rộng thực tế: không một định nghĩa lại đơn lẻ nào có thể lấp đầy được nó.
- Một gián đoạn vô cùng tăng vọt lên vô cực: không giá trị nào có thể kìm hãm được đường tiệm cận.
- Vì vậy, trước hết hãy phân loại; nếu giới hạn hai phía bị thiếu, thì sự gián đoạn đó là vĩnh viễn.
Loại điểm gián đoạn nào có thể được loại bỏ bằng cách định nghĩa lại một điểm đơn lẻ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Chỉ loại có thể loại bỏ mới có giới hạn hai phía để khớp; bước nhảy và sự phóng to vô cực không thể sửa chữa được.
Xác định lại $f(c)$ có thể tạo ra một giới hạn hai phía chưa từng tồn tại trước đây.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một điểm đơn lẻ không ảnh hưởng đến giới hạn; nếu hai phía không đồng ý, việc xác định lại sẽ không thay đổi gì.
Chọn tất cả các điểm gián đoạn mà không thể loại bỏ được.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Bất cứ điều gì không có giới hạn hai phía đều là vĩnh viễn; chỉ có lỗ hổng có thể loại bỏ mới có thể được lấp đầy.
Bạn chỉ có thể "loại bỏ" một sự gián đoạn nơi mà giới hạn hai phía đã tồn tại. Nếu giới hạn bên trái và bên phải khác nhau, việc đặt $f(c)$ bằng bất kỳ số nào cũng sẽ khiến hai phía vẫn không đồng ý — hàm sẽ vẫn không liên tục. Việc định nghĩa lại một điểm bao giờ cũng không tạo ra một giới hạn mà trước đó chưa từng tồn tại.
Để xóa lỗ hổng của $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ tại $x=5$, hãy định nghĩa $f(5)$ bằng với giới hạn. Giá trị là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Giới hạn $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, nên $f(5)=10$.
Tìm $c$ để cho hàm $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$ liên tục tại $x=3$.
- Giới hạn: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Tính liên tục đòi hỏi $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Việc đặt $c=6$ sẽ lấp đầy lỗ hổng; $f$ giờ đây liên tục tại $3$.
Một điểm gián đoạn có thể loại bỏ được khắc phục bằng cách định nghĩa lại $f(c)$ để bằng với (giới hạn) đã tồn tại. Đối với một hàm phân mảnh có hằng số chưa biết, hãy đặt các phần bằng nhau tại điểm nối — giới hạn $=$ giá trị — và giải phương trình. Đi nhảy và vô cùng gián đoạn không có giới hạn hai phía, vì vậy chúng không thể bị loại bỏ.