Giới thiệu Calculus: Sự thay đổi có xảy ra tại một thời điểm ngay lập tức?
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tốc độ biến thiên trung bình |
| slope/sləʊp/ | hệ số góc |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | đường cắt |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | tiếp tuyến |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tốc độ biến thiên tức thời |
| limit/ˈlɪmɪt/ | giới hạn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm |
Tốc độ ngay lúc này?
- Đồng hồ đo tốc độ của xe bạn hiển thị $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ tại một thời điểm duy nhất.
- Nhưng tốc độ là khoảng cách chia cho thời gian — và tại một thời điểm, không có thời gian trôi qua và không có khoảng cách nào được di chuyển.
- Vậy làm sao bạn có thể có một tốc độ tại một khoảnh khắc duy nhất?
- Việc trả lời câu hỏi này chính là nơi phép tính vi phân và tích phân bắt đầu.
Tốc độ thay đổi trung bình
- Trong một khoảng, sự thay đổi rất dễ tính: đó là tổng sự thay đổi chia cho thời gian đã mất.
- Đây là tốc độ thay đổi trung bình của một hàm số.
- Trên đồ thị, nó là độ dốc của đường thẳng nối hai điểm — một cát tuyến.
- Ví dụ: từ $x=1$ đến $x=3$, tốc độ trung bình là $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
Độ dốc của đường cắt giữa hai điểm trên đường cong sẽ cho ta...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Một đường cắt nối hai điểm, nên độ dốc của nó là tốc độ thay đổi trung bình trong khoảng thời gian đó.
Nén hai điểm lại gần nhau
- Bây giờ trượt điểm thứ hai lại gần điểm đầu tiên càng sát越好.
- Cát tuyến xoay quanh và tiến gần hơn đến việc chỉ chạm vào đường cong tại một điểm.
- Đường chạm vào đó chính là tiếp tuyến.
Khi điểm thứ hai trượt về phía điểm đầu tiên, đường cắt tiến tới...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đường cắt xoay cho đến khi nó chỉ chạm nhẹ vào đường cong — nó tiến tới đường tiếp tuyến.
Tốc độ thay đổi tức thời
- Độ dốc của tiếp tuyến chính là tốc độ thay đổi tức thời tại điểm đó.
- Đó chính là giá trị trên đồng hồ đo tốc độ — tốc độ tại một thời điểm chính xác.
- Đối với đồ thị vị trí - thời gian, nó là vận tốc tức thời.
Tốc độ trung bình hay tốc độ tức thời?
Quyết định xem mỗi đại lượng được đo trong một khoảng thời gian hay tại một thời điểm cụ thể.
Độ dốc của đường tiếp tuyến là tốc độ thay đổi ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đường tiếp tuyến chạm vào đường cong tại một điểm, nên độ dốc của nó là tốc độ thay đổi tức thời tại đó.
Bạn không thể tìm tốc độ tức thời bằng cách thay một điểm vào — điều đó sẽ cho kết quả là $\tfrac{0}{0}$, vốn vô nghĩa. Bạn phải quan sát xem tốc độ trung bình tiến tới giá trị gì khi khoảng thu hẹp lại.
Bạn có thể tìm thấy tốc độ thay đổi tức thời bằng cách thay một điểm đơn lẻ vào công thức tốc độ trung bình.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Điều đó dẫn đến $\tfrac{0}{0}$, điều này vô nghĩa. Bạn phải tính giới hạn khi khoảng thời gian co lại về không.
Từ "tiến tới" này là một giới hạn
- Chúng ta chưa bao giờ thực sự chia cho số không; chúng ta chỉ hỏi xem độ dốc tiến tới giá trị nào.
- Giá trị đó là một giới hạn — ý tưởng cốt lõi của phép tính vi phân và tích phân.
- Giới hạn của tốc độ thay đổi trung bình, khi khoảng thu hẹp về zero, được gọi là đạo hàm.
- Toàn bộ đơn vị đầu tiên của khóa học dành để làm chính xác ý tưởng này.
Chọn tất cả các phát biểu đúng về đạo hàm tại một điểm.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Đạo hàm là giới hạn của các tốc độ thay đổi trung bình khi khoảng thời gian thu nhỏ — độ dốc của đường tiếp tuyến, tức tốc độ tức thời.
Chiều cao của một quả bóng là $h(t) = 5t^2$ mét. Ước tính tốc độ của nó tại $t=2$ giây.
- Tốc độ trung bình từ $t=2$ đến $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Từ $t=2$ đến $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Các giá trị hội tụ về $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — giới hạn đó chính là tốc độ tức thời.
Chiều cao của một quả bóng là $h(t)=5t^2$ m. Ước tính tốc độ tức thời của nó tại $t=2$ s (theo m/s).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Thu hẹp khoảng thời gian, tốc độ trung bình tiến tới $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — giới hạn đó chính là tốc độ tức thời.
Tốc độ thay đổi trung bình = độ dốc của một cát tuyến trong một khoảng. Thu nhỏ khoảng về zero và cát tuyến tiến tới tiếp tuyến,oman độ dốc là tốc độ thay đổi tức thời. Giá trị giới hạn đó chính là đạo hàm.