Bán径 sao
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | Nhiệt độ |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | Định luật dịch chuyển Wien |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | Định luật Stefan-Boltzmann |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | Vật đen |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | bước sóng |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | hằng số Stefan-Boltzmann |
Không kính thiên văn nào có thể thấy một ngôi sao dưới dạng đĩa
- Mọi ngôi sao trừ Mặt Trời đều chỉ là một chấm ngay cả trong những kính thiên văn lớn nhất. Đĩa của chúng quá nhỏ để phân giải được.
- Tuy nhiên, bán kính của một ngôi sao cách chúng hàng nghìn năm ánh sáng lại là một phép tính thường quy, và nó được thực hiện dựa trên hai thứ bạn có thể đo: màu sắc và độ sáng của nó.
- Màu sắc cho biết nhiệt độ bề mặt. Độ sáng và khoảng cách cho biết tổng công suất. Kết hợp cả hai yếu tố này sẽ cho kích thước của ngôi sao.
- Bài học này bao gồm định luật dịch chuyển Wien và định luật Stefan-Boltzmann, cùng chuỗi ba bước nối liền chúng.
Định luật dịch chuyển Wien
- Một vật nóng phát ra phổ vật đen liên tục có đỉnh nằm ở một bước sóng được xác định bởi nhiệt độ của nó:
- Bước sóng mà tại đó cường độ đạt cực đại tỷ lệ nghịch với nhiệt độ nhiệt động lực học. Nên nói "bước sóng của cường độ cực đại" chứ không chỉ nói "bước sóng".
- Nhiệt độ phải tính bằng kelvin, và định luật mô tả đỉnh của đường cong liên tục, không phải các vạch quang phổ.
- Càng nóng thì càng xanh lam: một ngôi sao đỏ ở gần $3000\ \text{K}$ có đỉnh phát xạ trong vùng hồng ngoại, Mặt Trời ở gần $5800\ \text{K}$ có đỉnh quanh $500\ \text{nm}$, và một ngôi sao xanh-trắng ở gần $20000\ \text{K}$ có đỉnh trong vùng tử ngoại.
Nóng hơn, cao hơn và lệch sang trái hơn
Các sao nóng hơn có đỉnh quang phổ (định luật Wien) ở bước sóng ____.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\lambda_{\max}T = b$, vì vậy $T$ cao hơn nghĩa là $\lambda_{\max}$ nhỏ hơn — về phía màu xanh lam.
Những yếu tố nào thuộc về phát biểu Định luật dịch chuyển Wien? Chọn tất cả các đáp án đúng.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó nói về đỉnh của đường cong vật đen liên tục, không phải các vạch. Chỉ nói bước sóng sẽ mất điểm; hãy nói bước sóng của cường độ cực đại.
Ví dụ minh họa: xác định nhiệt độ của một ngôi sao
- Quang phổ của một ngôi sao có đỉnh tại $500\ \text{nm}$. Hãy tìm nhiệt độ bề mặt của nó.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Chuyển đổi nanometra sang mét trước. Hằng số có đơn vị mét-kelvin, nên nếu dùng bước sóng tính bằng nm sẽ cho kết quả nhiệt độ sai lệch $10^9$.
- Một đo lường này là lý do hoàn toàn khiến màu sắc của một ngôi sao trở nên hữu ích: màu sắc chính là nhiệt độ.
Quang phổ của một ngôi sao đạt cực đại ở $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. Nhiệt độ bề mặt của nó là bao nhiêu? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — khoảng của Mặt Trời.
Khớp mỗi ngôi sao với nơi quang phổ của nó đạt cực đại.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nóng hơn thì đỉnh ngắn hơn. Việc đo lường này là lý do tại sao màu sắc của một ngôi sao lại hữu ích: màu sắc chính là nhiệt độ.
Định luật Stefan-Boltzmann
- Xem ngôi sao như một quả cầu vật đen có bán kính $r$ ở nhiệt độ bề mặt $T$:
- $\sigma$ là hằng số Stefan-Boltzmann.
- Hai sự phụ thuộc, và chúng khác nhau rất nhiều về độ mạnh. $L \propto r^2$: gấp đôi bán kính, bốn lần độ sáng. $L \propto T^4$: gấp đôi nhiệt độ, mười sáu lần độ sáng.
- Vì vậy, một sai số nhỏ trong nhiệt độ sẽ dẫn đến sai số lớn trong độ sáng, đó là lý do tại sao bước sóng cực đại phải được đọc cẩn thận.
Độ sáng và bán kính của một ngôi sao
L ∝ r²
Đối với nhiệt độ bề mặt cho trước, độ sáng của một ngôi sao tăng theo BÌNH PHƯƠNG của bán kính (định luật Stefan).
Định定律 Stefan–Boltzmann cho độ sáng của một ngôi sao là:
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — phụ thuộc mạnh vào cả bán kính và nhiệt độ.
Sử dụng $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, những phát biểu nào đúng? Chọn tất cả các đáp án đúng.
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
L tỷ lệ với r^2 và T^4. lũy thừa bậc tư này là lý do tại sao bước sóng cực đại phải được đọc kỹ và hiệu chỉnh cho redshift.
Ví dụ minh họa: Độ sáng của một ngôi sao giống Mặt Trời
- Một ngôi sao có bán kính $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ và nhiệt độ bề mặt $5800\ \text{K}$. Hãy tìm độ sáng của nó.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Bình phương bán kính và nâng nhiệt độ lên lũy thừa bốn. Trên máy tính, hãy thực hiện $T^4$ như một bước riêng biệt và kiểm tra kích thước của nó: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
Nếu nhiệt độ của một ngôi sao tăng gấp đôi (cùng bán kính), độ sáng của nó tăng gấp:
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$L \propto T^{4}$, vì vậy gấp đôi $T$ cho $2^{4} = 16$ lần độ sáng.
Cùng độ sáng, nhưng các ngôi sao đối lập nhau
- Vì $L$ phụ thuộc vào cả $r$ và $T$, hai ngôi sao hoàn toàn khác nhau có thể có cùng độ sáng.
- Một siêu sao đỏ khá lạnh, nên $T^4$ của nó nhỏ, nhưng nó vô cùng to lớn, và $r^2$ bù đắp cho điều đó.
- Một sao lùn trắng rất nóng nhưng cực kỳ nhỏ bé: một $T^4$ khổng lồ so với một $r^2$ vi mô.
- Bất cứ khi nào câu trả lời trông có vẻ bất ngờ, hãy kiểm tra theo cách này. Một ngôi sao $140$ lần độ sáng của Mặt Trời nhưng chỉ $1.6$ lần nhiệt độ chắc chắn phải lớn hơn đáng kể, bởi vì $L \propto r^2T^4$.
Sắp xếp thứ tự ba bước để ước tính bán kính của một ngôi sao.
Độ khó 3/5 · 200 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Mỗi bước là một dòng. Giữ độ chính xác đầy đủ của L và T cho đến cuối, vì T được nâng lên lũy thừa bốn.
Ước tính bán kính, trong ba bước
- Một. Đo $\lambda_{\text{max}}$ và lấy $T$ từ định luật Wien.
- Hai. Lấy $L$, thường là từ thông lượng và khoảng cách: $L = 4\pi d^2 F$.
- Ba. Giải định luật Stefan-Boltzmann để tìm bán kính:
- Mỗi bước chỉ mất một dòng. Giữ độ chính xác đầy đủ của $L$ và $T$ cho đến cuối cùng, vì $T$ được nâng lên lũy thừa bốn và làm tròn quá sớm sẽ gây ra sai số lớn.
Kết hợp định定律 Wien và định定律 Stefan–Boltzmann cho phép chúng ta ước tính bán kính của một ngôi sao.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Wien cho $T$, dòng và khoảng cách cho $L$, sau đó $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Ánh sáng Mặt Trời có dòng 1370 W/m^2 ở 1.50e11 m và quang phổ của Mặt Trời đạt cực đại ở 500 nm. Bán kính của Mặt Trời là bao nhiêu, tính bằng đơn vị 1e8 m?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, sau đó r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m so với giá trị được chấp nhận là 6.96e8 m. Ba công thức một dòng, không cần độ phân giải kính thiên văn.
Ví dụ minh họa: Bán kính của Mặt Trời, từ đầu
- Ánh sáng Mặt Trời trên Trái Đất có thông lượng $1370\ \text{W/m}^2$ ở $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, và quang phổ của Mặt Trời đạt cực đại tại $500\ \text{nm}$. Hãy ước lượng bán kính của Mặt Trời.
- Độ sáng: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Nhiệt độ: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Bán kính: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- Giá trị chấp nhận là $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Ba công thức đơn giản, không cần độ phân giải của kính thiên văn.
Trong $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ và $F = L/(4\pi d^2)$, các độ dài $r$ và $d$ có cùng ý nghĩa.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
r là bán kính riêng của ngôi sao; d là khoảng cách từ nó đến chúng ta. hoán đổi chúng là lỗi phổ biến nhất trong chủ đề này, và hai đại lượng khác nhau nhiều bậc độ lớn.
Điểm số dễ mất
- Định luật Wien liên quan đến bước sóng của cường độ cực đại, và $T$ phải được tính bằng kelvin.
- Chuyển đổi $\lambda_{\text{max}}$ sang mét; hằng số $b$ có đơn vị mét-kelvin.
- Trong $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ là bán kính của ngôi sao; trong $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ là khoảng cách đến chúng ta. Hai độ dài khác nhau, và hoán đổi chúng là lỗi phổ biến nhất trong chủ đề này.
- Giữ độ chính xác đầy đủ cho đến dòng cuối cùng, vì $T$ nằm ở lũy thừa bốn.
- Đối với một thiên hà đang di chuyển ra xa, hãy hiệu chỉnh bước sóng cực đại quan sát được trước khi sử dụng định luật Wien, nếu không nhiệt độ sẽ bị tính ra quá thấp.
Bạn đã nắm vững
- Định luật dịch chuyển Wien: bước sóng của cường độ cực đại tỉ lệ nghịch với nhiệt độ nhiệt động học, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, vì vậy độ sáng tỷ lệ thuận với bình phương của bán kính và lũy thừa bốn của nhiệt độ
- Bán kính thu được qua ba bước: $\lambda_{\text{max}} \to T$, sau đó $F$ và $d \to L$, rồi $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- giữ $r$ (ngôi sao) và $d$ (đến chúng ta) tách biệt, và giữ độ chính xác đầy đủ cho đến cuối cùng do ảnh hưởng của $T^4$