Chuyển động tịnh tiến dưới tác dụng của lực biến đổi
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | lực cản |
| position/pəˈzɪʃn/ | vị trí |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | quy tắc chuỗi |
| separable/ˈsepərəbl/ | tách biến |
| separate/ˈseprət/ | phân ly |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | tích phân |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | điều kiện biên |
Khi lực liên tục thay đổi
- Trọng lực gần Trái Đất xấp xỉ không đổi — nhưng lực hút của hành tinh, lực cản của ô tô, hoặc lực từ đều thay đổi theo vị trí.
- Một lực phụ thuộc vào vị trí của bạn cần một dạng định luật Newton thông minh hơn.
Gia tốc như một hàm số của vị trí
- Khi lực (và do đó gia tốc) phụ thuộc vào vị trí $x$, viết lại gia tốc thành:
- Điều này đến từ quy tắc chuỗi: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
Khi lực thay đổi theo vị trí, công thực hiện là diện tích dưới đồ thị F–x
Công từ lực biến đổi
W = ∫ F dx
Khi lực thay đổi, công thực hiện là diện tích dưới đồ thị lực–quãng đường.
Khi lực phụ thuộc vào vị trí x, gia tốc được viết thuận tiện nhất là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — thuận tiện khi lực phụ thuộc vào x.
Đẳng thức a = v dv/dx xuất phát từ quy tắc ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx theo quy tắc dây chuyền.
Biến F = ma thành phương trình vi phân
- Thay thế ta thu được $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — một phương trình vi phân tách biến liên kết $v$ và $x$.
- Tách các biến ($v\,dv$ ở vế trái, $x$ ở vế phải) và tích phân.
Khi nào dùng dạng nào. Lực phụ thuộc vào thời gian → dùng $a = \dfrac{dv}{dt}$. Lực phụ thuộc vào vị trí → dùng $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Việc chọn đúng dạng là chiến thắng nửa cuộc chơi.
Thay a = v dv/dx vào F = ma cho ta phương trình vi phân tách biến theo v và x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
F(x) = mv dv/dx tách thành v dv và biểu thức theo x, sau đó tích phân.
Nếu thay vào đó lực phụ thuộc theo thời gian t, dạng tự nhiên cho gia tốc là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lực phụ thuộc thời gian → a = dv/dt; lực phụ thuộc vị trí → a = v dv/dx.
Phương pháp
-
- Viết $F = ma$ với $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
-
- Tách: gom $v$ với $dv$, $x$ với $dx$.
-
- Tích phân hai vế, sau đó áp dụng điều kiện biên để tìm $v$ dưới dạng hàm của $x$.
- Khi lực phụ thuộc vào vị trí, xem nó như một lực biến thiên với $a=v\,dv/dx$.
Sắp xếp các bước giải bài toán chuyển động dưới tác dụng của lực phụ thuộc vị trí.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Thiết lập biểu thức với v dv/dx, tách biến, tích phân, sau đó sử dụng các điều kiện để xác định hằng số.
Bạn đã nắm vững
- đối với lực phụ thuộc vị trí, dùng $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (từ quy tắc chuỗi)
- điều này khiến $F = ma$ trở thành phương trình vi phân tách biến theo $v$ và $x$
- tách và tích phân để tìm $v$ dưới dạng hàm của $x$