Phương trình vi phân (Further Pure 2)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | phương trình vi phân |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | thừa số tích phân |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | nghiệm tổng quát |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | hàm bổ sung |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | phương trình phụ |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | điều kiện biên |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | điều kiện ban đầu |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | tích phân riêng |
Khi ẩn số là một hàm
- Phương trình thông thường giải tìm một con số. Một phương trình vi phân giải tìm một hàm toàn bộ — dựa trên quy tắc về tốc độ thay đổi của nó.
- Chúng mô phỏng sự làm mát cà phê, sự tăng trưởng dân số, việc nạp điện vào tụ điện, và sự dao động của con lắc.
Bậc nhất tuyến tính: thừa số tích phân
- Với $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, nhân cả hai vế với thừa số tích phân:
- Điều này khiến vế trái thu gọn thành $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, giúp bạn có thể tích phân cả hai vế trực tiếp.
Ví dụ có lời giải. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Tại đây $P = 2$, nên $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Vế trái trở thành $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Phương trình vi phân
dy/dx = a y
Phương trình thiết lập độ dốc tại mọi nơi; nghiệm tuân theo những độ dốc đó.
Đối với dy/dx + 2y = eˣ, thừa số tích phân μ = e^(∫2 dx) là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∫2 dx = 2x, vậy μ = e^(2x).
Nhân với thừa số tích phân sẽ biến vế trái thành d/dx(μy), cho phép bạn tích phân trực tiếp.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Đó chính là ý nghĩa của thừa số tích phân — nó biến vế trái thành đạo hàm chính xác.
Bậc hai, hệ số hằng
- Với $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, nghiệm tổng quát gồm hai phần:
- Hàm bổ trợ (CF) thu được từ phương trình phụ $am^2 + bm + c = 0$.
Đối với phương trình tuyến tính hệ số hằng, nghiệm tổng quát là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nghiệm tổng quát = hàm bổ sung (RHS = 0) + một tích phân riêng.
Đọc nghiệm của phương trình phụ
- Nghiệm của phương trình phụ quyết định hình dạng của CF:
| nghiệm | hàm bổ trợ |
|---|---|
| thực & phân biệt $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| trùng lặp $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| phức $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
Phương trình vi phân có một họ đường cong nghiệm; điều kiện biên chọn ra một đường duy nhất.
Đối với y″ − 5y′ + 6y = 0, phương trình phụ là m² − 5m + 6 = 0. Nghiệm lớn hơn của nó là gì?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, nên m = 2 hoặc 3; giá trị lớn hơn là 3.
Gán mỗi loại nghiệm phụ với hàm bổ sung tương ứng mà nó tạo ra.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Nghiệm thực phân biệt tạo hai hàm mũ; nghiệm lặp lại thêm một thừa số x; nghiệm phức tạo dạng dao động có tỷ lệ theo hàm mũ.
Điều kiện biên
- Các hằng số $A, B$ được cố định bởi điều kiện biên hoặc điều kiện ban đầu (ví dụ $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Không có chúng, bạn có cả họ; có chúng, bạn chỉ có đường cong vừa khớp.
- Giải phương trình vi phân bằng phép thay thế hoặc biến số tách rời, sau đó áp dụng điều kiện ban đầu để tìm nghiệm riêng.
Các hằng số tùy ý A và B được xác định bởi các điều kiện ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Điều kiện biên hoặc ban đầu (như y(0) = 1) xác định A và B.
Bạn đã nắm vững
- bậc nhất tuyến tính: nhân với $\mu = e^{\int P\,dx}$, rồi tích phân
- bậc hai: hàm tổng quát = hàm bổ trợ + tích phân riêng
- HF có từ phương trình phụ; điều kiện biên xác định các hằng số