Vi phân (Further Pure 2)
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | dãy Maclaurin |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | phân vi phân |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hàm hyperbolic |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | hệ số |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | miền hội tụ |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | phân kỳ |
Máy tính bỏ túi tìm eˣ như thế nào?
- Máy tính bỏ túi của bạn không thể "thực hiện" $e^{0.7}$ trực tiếp — không có nút bấm nào biết điều đó.
- Thay vào đó, nó cộng lại một vài số hạng của đa thức mô phỏng $e^x$ gần gốc tọa độ.
- Đa thức đó là dãy Maclaurin — và việc xây dựng nó bắt đầu bằng việc vi phân lặp lại.
Các đạo hàm mới cần biết
- Further Pure 2 thêm các đạo hàm của các hàm hyperbolic và nghịch đảo:
| hàm | đạo hàm |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- Bạn cũng có thể tìm $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ cho các đường cong tiểu ẩn và tham số.
Mỗi số hạng Maclaurin bổ sung ôm sát e^x trên khoảng rộng hơn
Độ dốc tại một điểm
gradient = dy/dx
Đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến, dù hàm số có phức tạp đến đâu.
Đạo hàm của sinh x là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(sinh x) = cosh x (và d/dx(cosh x) = sinh x).
Đạo hàm của tan⁻¹x là 1/(1+x²). Giá trị của nó tại x = 0 là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1/(1+0²) = 1.
Nối mỗi hàm với đạo hàm tương ứng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Cặp hyperbolic hoán đổi (không có dấu trừ, khác với sin/cos); đạo hàm của hàm lượng giác ngược là các dạng hữu tỷ/căn số tiêu chuẩn.
Dãy Maclaurin
- Một dãy Maclaurin tái xây dựng một hàm thành đa thức vô hạn sử dụng các đạo hàm của nó tại $0$:
- Mỗi hệ số cần đạo hàm tiếp theo, được đánh giá tại $x = 0$.
Trong chuỗi Maclaurin, hằng số tự do là f(0). Với f(x) = eˣ, f(0) bằng bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e⁰ = 1, nên hằng số tự do là 1.
Trong chuỗi Maclaurin, hệ số của xⁿ có n-factorial (viết là n!) ở trong ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Số hạng xⁿ là f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — n! nằm ở mẫu số.
Ví dụ minh họa — dãy cho eˣ
- Đối với $f(x) = e^x$, mọi đạo hàm đều là $e^x$, và $e^0 = 1$. Vì vậy, mỗi hệ số đều là $\dfrac{1}{n!}$:
Mỗi số hạng bổ sung làm cong đa thức lại gần hơn với $e^x$ gần $x = 0$ — đúng cách máy tính hoạt động.
Các dãy tiêu chuẩn khác. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ và $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid cho $|x| < 1$).
Chuỗi Maclaurin của eˣ bắt đầu như sau:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Nơi dãy hợp lệ
- Một dãy Maclaurin chỉ khớp với hàm số trong khoảng hội tụ của nó.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ hội tụ với mọi $x$; nhưng $\ln(1+x)$ chỉ hội tụ khi $-1 < x \leq 1$.
Kiểm tra hội tụ trước khi tin tưởng. Xa khỏi khoảng hợp lệ, đa thức lệch rất xa khỏi hàm số — thêm nhiều số hạng càng làm tệ hơn, chứ không tốt hơn.
- Vi phân các hàm hyperbolic và hàm nghịch đảo, và các quan hệ được cho tiểu ẩn hoặc tham số.
Chuỗi Maclaurin của ln(1+x) hợp lệ với mọi giá trị của x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nó chỉ hội tụ trong khoảng −1 < x ≤ 1; ngoài khoảng đó nó phân kỳ.
Bạn đã nắm vững
- các đạo hàm mới: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — nhiều số hạng hơn khớp tốt hơn, trong khoảng hội tụ