Toán học nhị phân và số nguyên có dấu

Ngân hàng đã mất một ngày

• Vào ngày 1 tháng 9 năm 1983, chỉ số sàn giao dịch Vancouver ở mức 524.811. Nó đã mở cửa ở mức 1000 cách đây 22 tháng và thị trường đã tăng trong suốt thời gian đó.
• Chương trình tính lại chỉ số sau mỗi giao dịch, cắt cụt thay vì làm tròn mỗi lần. Mỗi lần cắt cụt mất đi một phần nhỏ của điểm số. Ba nghìn giao dịch mỗi ngày đã hoàn thành công việc còn sót lại.
• Khi được tính toán đúng cách, chỉ số là 1098.892: chính phép toán, chứ không phải thị trường, đã làm giảm một nửa nó.
• Phép toán trên một số lượng bit cố định không giống với phép toán bạn đã học ở trường. Bài học này về cộng nhị phân, quá tải, phép trừ bằng bù hai, số nguyên có dấu và BCD.

Cộng nhị phân

• Cộng từng cột từ phải sang trái, mang vào cột kế tiếp, y hệt như trong thập phân.
• Các quy tắc: $0 + 0 = 0$; $0 + 1 = 1$; $1 + 1 = 10$, viết 0 và mang 1; $1 + 1 + 1 = 11$, viết 1 và mang 1.
• 0101 $+$ 0011 $=$ 1000, tức là $5 + 3 = 8$.

Phương pháp tương tự như thập phân, chỉ có hai chữ số để mang giữa các cột

Quá tải

• Quá tải xảy ra khi kết quả của phép tính cần nhiều bit hơn thanh ghi có thể chứa. Bit carry ra khỏi cột quan trọng nhất bị mất, nên đáp án lưu trữ sẽ sai.
• Đây là đặc tính của độ rộng thanh ghi, không phải của con số 255: trong một thanh ghi 16 bit, tổng cùng loại sẽ hợp lệ.
• Trong phép toán có dấu, dấu hiệu nhận biết là bit dấu bị đảo ngược sai: hai số dương tạo ra số âm, hoặc hai số âm tạo ra số dương.

Ví dụ minh họa: gọi tên quá tải đúng cách

Phép trừ bằng bù hai

• Để tính $A - B$: lập bù hai của $B$ bằng cách đảo ngược mọi bit và cộng 1, cộng nó vào $A$, sau đó loại bỏ bất kỳ bit carry nào ở cuối.
• $100 - 30$ trong 8 bit: phần bù hai của 0001 1110 là 1110 0001 đảo ngược, cộng thêm 1, kết quả là 1110 0010.
• 0110 0100 $+$ 1110 0010 $=$ 1 0100 0110; loại bỏ 1 ở đầu và đọc 0100 0110 $= 70$. ✓

Phép trừ trở thành phép cộng, đó là lý do tại sao bộ xử lý không cần mạch trừ

Số nguyên có dấu bù hai

• Trong một số bù hai $n$-bit, bit quan trọng nhất là bit dấu: 0 nghĩa là dương, 1 nghĩa là âm. Tương đương, bit trên cùng mang giá trị vị trí âm, là $-2^{n-1}$.
• Để đọc một số âm: đảo ngược mọi bit, cộng 1, rồi đặt dấu trừ phía trước. 1011 0100 đảo ngược thành 0100 1011, cộng 1 được 0100 1100 $= 76$, nên giá trị là $-76$. Kiểm tra bằng giá trị vị trí: $-128 + 32 + 16 + 4 = -76$. ✓
• Đối với $n$ bit, phạm vi là từ $-2^{n-1}$ đến $+2^{n-1} - 1$: 8 bit cho phạm vi từ $-128$ đến $+127$, 12 bit cho phạm vi từ $-2048$ đến $+2047$. Giá trị âm nhất bắt đầu bằng 1 theo sau là zeros; giá trị dương nhất bắt đầu bằng 0 theo sau là ones.

11111111 là 255 nếu đọc theo cách này và −1 nếu đọc theo cách kia

Ví dụ minh họa: viết −108 trong 12 bit

Bù một

• Bù một là sơ đồ cũ hơn: một số âm được tạo ra bằng cách đảo ngược mọi bit của số dương, không có bước cộng 1. $+30$ là 0001 1110, nên $-30$ là 1110 0001.
• Nhược điểm của nó là có hai số không, 0000 0000 và 1111 1111, điều này lãng phí một mẫu mã và làm phức tạp phép tính toán.
• Biểu diễn bù hai có một số không và cho phép cùng một mạch cộng thực hiện cả phép trừ, đó là lý do nó chiến thắng.

Mã hóa nhị phân thập phân

• Trong Mã hóa nhị phân thập phân (BCD), mỗi chữ số thập phân được lưu trữ dưới dạng mẫu 4-bit riêng của nó, sử dụng chỉ 0000 đến 1001.
• 93 trong BCD là 1001 0011, điều này không giống với 93 trong nhị phân thuần túy, 0101 1101. Đọc cái này như cái kia là bẫy đề thi yêu thích.
• Ứng dụng: máy tính bỏ túi, đồng hồ kỹ thuật số và mảng hiển thị bảy đoạn, nơi mỗi chữ số được điều khiển riêng biệt, và tiền tệ, nơi BCD tránh các lỗi làm tròn khi lưu trữ $0.1$ trong nhị phân thuần túy. Chi phí là các mẫu bị lãng phí, vì 1010 đến 1111 không bao giờ được sử dụng.

Một chữ số, một nibble, một màn hình hiển thị

Điểm số dễ mất

Bạn đã nắm vững