Điện từ học

Đây là khóa học thứ bảy trong Kỹ thuật Điện Đại học: điện từ học — nền tảng vật lý của mọi mạch điện, ăng-ten và động cơ. Các mạch điện ẩn giấu trường bên trong dây dẫn; khóa học này mở ra hộp đựng bí mật đó.

• Đơn vị 7.1 ôn tập bộ công cụ vi phân vector (các toán tử EE02, giờ đây với tọa độ và đối xứng).
• Các đơn vị 7.2–7.4 xây dựng tĩnh điện học: tĩnh điện, từ tĩnh, và phương trình Maxwell đã tổng hợp.
• Các đơn vị 7.5–7.6 truyền sóng và dẫn chúng dọc theo đường truyền.
• Chương 7.7 giới thiệu về ống dẫn sóng và ăng-ten.

Câu chuyện liên tục là một liên kết: kết nối vô tuyến 3 GHz giữa hai bảng mạch trên bàn thí nghiệm — các trường của nó, sóng của nó, cáp của nó, dẫn hướng của nó, anten của nó. Mọi đáp án về trường bên dưới được tính theo hai cách (Gauss so với tích phân trực tiếp; Ampère so với Biot-Savart), và mọi đáp án về sóng đều được kiểm tra đối chiếu với trường hợp giới hạn (không gian tự do, chất dẫn điện hoàn hảo, dòng điện một chiều).

Tầm quan trọng. Bộ thu GPS của điện thoại nghe thấy −130 dBm; liệu điều đó có hoạt động hay không phụ thuộc vào độ phân kỳ và độ xoáy. Các toán tử của EE02 chính là ngữ pháp; ở đây chúng lấy tọa độ và học shortcuts đối xứng giúp hình học thực tế trở nên dễ xử lý hơn.

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Một trường có độ thoát ra mỗi thể tích (gọi là độ phân kỳ) và độ tuần hoàn mỗi diện tích (gọi là độ xoáy). Trước chạm vào tích phân, kiểm tra tính đối xứng của nguồn: toàn bộ hình cầu trụ → trụ coaxial ($dA = r^{2}\sin θ\,dθ\,dφ$); không có → tích phân trực tiếp hình trụ → hình trụ đồng trục ($dA = r\,dφ\,dl$); không có → tích phân trực tiếp theo công thức trường. tích phân dọc theo công thức trường.

Sự suy diễn. Định lý phân kỳ

nói rằng dòng chảy ròng của trường qua một mặt kín bằng tích phân thể tích của các nguồn của nó. Đối với nguồn đối xứng, tích phân mặt rút gọn thành $E \times A$; giải tìm trường chỉ mất một dòng — đó chính là mọi ví dụ về định luật Gauss trong khóa học này.

Ví dụ minh họa 1 — phân kỳ theo tọa độ. Lấy $\mathbf{F} = (3x^{2}, 0, 0)$: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial(3x^{2})/\partial x = 6x$, nên tại điểm $(2, 0, 0)$, phân kỳ có giá trị 12 trên đơn vị thể tích. Kiểm tra tại điểm điểm $(−2, 0, 0)$: trường vẫn chỉ theo hướng $+x$ ($3x^{2}$ không bao giờ âm), nhưng phân kỳ là −12 — dấu hiệu phản ánh sự thay đổi của trường (mật độ nguồn), không phải hướng mà nó chỉ.

Ví dụ minh họa 2 — định lý trên khối lập phương. Thông lượng của $\mathbf{F}$ vượt ra ngoài khối lập phương đơn vị $[0,1]^{3}$, theo cách tính theo thể tích: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 6x\,dx\,dy\,dz = 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$. Theo cách tính theo mặt: chỉ có mặt $x = 1$ mang thông lượng ($3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$; mặt $x = 0$ có $3x^{2} = 0$, bốn mặt còn lại song song với $\mathbf{F}$) — tổng 3 ✓. Cả hai cách tính, một kết quả: định lý là một đẳng thức kế toán mà bạn luôn có thể kiểm tra được.

Lỗi thường gặp. Tích phân $r^{2}$ nhưng vi phân $1/r^{2}$ (hầu hết các ví dụ Gauss đều ẩn đi bước như vậy — hãy viết rõ cả hai). Quên rằng mặt cầu $dA = r^{2}\sinθ\,dθ\,dφ$ có $r^{2}$ triệt tiêu trường của $1/r^{2}$ — chính sự triệt tiêu đó là phương pháp. Và áp dụng định luật Gauss cho nguồn không đối xứng: không có đối xứng, không có $E \times A$, không có cách tắt.

Tóm tắt. Div = mật độ dòng chảy ra, Curl = mật độ tuần hoàn; đối xứng chọn mặt; định lý phân kỳ là phép kiểm tra hai hướng dẫn làm cho mọi câu trả lời ở đây tự xác minh được.

Tại sao nó quan trọng. Every capacitor, every insulation failure, every touch cảm biến chạm đều là bài toán tĩnh điện mang nhãn linh kiện.

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Điện trường Coulomb của một điện tích điểm, $E = q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\,\hat{r}$, hội tụ thành định luật Gauss:

và đối xứng chuyển tích phân thành đại số: với nguồn đối xứng cầu, $E \cdot 4\pi r^{2} = Q_{enc}/\varepsilon_{0}$.

Sự suy diễn. Bên trong một quả cầu tích điện đều bán kính $a$ và mật độ $\rho$, điện tích bao hàm tăng theo $r^{3}$ trong khi diện tích mặt Gauss tăng theo $r^{2}$:

Thế năng tích lũy điện trường: $V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$; điện dung của một cầu cô lập theo sau, $C = Q/V = 4\pi\varepsilon_{0}a$ — khoảng 1.1 pF trên cm bán kính, giải thích tại sao các vật thể trong chân không hầu như không liên kết. Tại bề mặt phân cách chất điện môi, các điều kiện biên là: thành phần tiếp tuyến $E$ liên tục, thành phần pháp tuyến $D = \varepsilon E$ thay đổi bất kỳ tùy thuộc vào điện tích bề mặt tự do.

Ví dụ minh họa 1 — quả cầu, cả hai vùng. Với $\rho = 1\ \mu\text{C/m}^{3}$ và $a = 2$ cm: tại bề mặt $r = a$, cả hai công thức đều cho $E = \rho a/3\varepsilon_{0} = (10^{-6} \cdot 0.02)/(3 \times 8.854 \times 10^{-12}) = 753$ V/m ✓ một giá trị, hai cách tiếp cận. Tại $r = 4$ cm (bán kính gấp đôi), dạng bên ngoài cho $753/4 = 188$ V/m — sự suy giảm $1/r^{2}$, sau một quãng tần số.

Ví dụ minh họa 2 — mở rộng ra điện môi. Giữ nguyên mật độ điện tích tự do và cho phép một điện môi đồng nhất, tuyến tính lấp đầy toàn bộ không gian, bên trong và bên ngoài vùng mang điện. Với $\varepsilon_{r} = 4$, trường trên mọi nơi giảm đi 4× và giá trị bề mặt trở thành 188 V/m. Đại lượng phân cực thay đổi $E$, trong khi $D = \varepsilon E$ không đổi đối với cùng một điện tích tự do. Điện tích liên kết bên trong hình cầu là $Q_{bound} = -(1 - 1/\varepsilon_{r})Q_{free} = -0.75Q_{free}$. Nó phân bố qua thể tích có điện tích. Không có liên kết bổ sung nào tại $r = a$, vì điện môi giống nhau ở cả hai bên và sự phân cực liên tục tại đó. Một cầu điện môi bao quanh bởi chân không là một bài toán giá trị biên khác.

Lỗi thường gặp. Sử dụng $4\pi r^{2}$ khi hình học là hình trụ ($2\pi r l$). Trộn lẫn $\varepsilon_{0}$ và $\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ giữa chừng bài toán — định luật Gauss nhìn thấy. form inside the sphere: the enclosed charge, not the total charge, is what Gauss nhìn thấy.

Tóm tắt. Định luật Gauss cộng với đối xứng: $E \times A = Q_{enc}/\varepsilon$; quả cầu tăng tuyến tính bên trong, giảm theo $1/r^{2}$ bên ngoài, khớp nhau tại bề mặt. Một điện môi phân tách các trường qua $\varepsilon_{r}$ và lưu trữ hiệu thế năng dưới dạng điện tích bị ràng buộc.

Tại sao điều này quan trọng. Động cơ, rơ-le, nam châm MRI và mọi cuộn cảm đều bắt đầu với cùng một cặp định luật: Biot-Savart cho trường hợp tổng quát, Ampère khi có tính đối xứng.

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Dòng điện tạo ra từ trường. Định luật Biot-Savart tích phân đóng góp của từng yếu tố dòng điện; Định luật Ampère $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{enc}$ bao quanh từ trường xung quanh dòng điện. Bài kiểm tra đối xứng từ Đơn vị 7.1 quyết định nên dùng cái nào.

Sự suy luận. Đối với một cuộn solenoid vô hạn có $n$ vòng trên mét, lấy một vòng Amperian hình chữ nhật với một cạnh dài bên trong (chiều dài $l$), một cạnh bên ngoài, và hai cạnh ngắn cắt qua các vòng dây. Dòng điện bị bao gồm là $n l I$; từ trường bên ngoài của một cuộn solenoid vô hạn biến mất do sự triệt tiêu, và các cạnh ngắn không đóng góp gì (trường vuông góc với chúng). Do đó $B \cdot l = \mu_{0} n l I$:

Flux từ $\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$ dẫn đến độ tự cảm $L = N\Phi/I$; đối với cuộn solenoid, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$. Từ Lực Lorentz $\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ làm bẻ cong chuyển động của điện tích**, thành một vòng tròn bán kính $r = mv/qB$ — quỹ đạo cyclotron.

Ví dụ giải chi tiết 1 — giá của cuộn solenoid. Với $n = 1000$ vòng/m và $I = 2$ A: $B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 2 = 2.51$ mT bên trong, đồng đều dọc theo trục. Việc kiểm tra Biot–Savart sẽ phải tích phân hàng ngàn vòng — đó là lý do tại sao bài kiểm tra đối xứng được thực hiện đầu tiên: một dòng thay vì cả trang giấy.

Ví dụ minh họa 2 — quỹ đạo và lực. Một điện tích $1\ \mu$C tại $10^{6}$ m/s di chuyển vuông góc với từ trường $1$ T chịu $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{6} \times 1 = 1$ N — và chuyển động tròn với bán kính $r = mv/qB$: đối với electron ($m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg), $r = (9.11 \times 10^{-31} \times 10^{6})/(1.6 \times 10^{-19} \times 1) = 5.7\ \mu$m — đó là bán kính cyclotron xác định hình học magnetron và máy quang phổ. Kiểm tra tốc độ: một electron ở $10^{6}$ m/s mang năng lượng 2.85 eV — đủ lớn để không tương đối tính, nên công thức hoàn toàn chính xác.

Lỗi thường gặp. Unquên rằng định luật Ampère yêu cầu tổng dòng điện bao bị nhốt (vòng dây có $N$ vòng → $NI$). Giả sử $\mathbf{B}$ là liên tục xuyên qua lớp dòng điện (thành phần tiếp tuyến của nó biến đổi đột ngột bằng $\mu_{0}K$). Và sử dụng công thức ống dẫn điện cho cuộn dây ngắn: "vô hạn" nghĩa là chiều dài ≫ đường kính, hoặc từ trường yếu hơn và không đều.

Tóm tắt. Ampère cộng với đối xứng: $B \cdot l = \mu_{0}I_{enc}$; cuộn dây solenoid vô hạn tập trung từ thông, $B = \mu_{0}nI$, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$; điện tích di chuyển quanh tròn tại $r = mv/qB$.

Tại sao nó quan trọng. Mọi radio, mọi photon, mọi bộ sạc không dây từ hai hằng số đo được trên bàn thí nghiệm. Liên kết ngân sách của

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Tĩnh điện học + dòng điện dịch chuyển hoàn thiện bộ:

Bốn ô tạo thành một vòng lặp: dòng $\mathbf{E}$ lưu thông làm thay đổi $\mathbf{B}$, dòng $\mathbf{B}$ lưu thông làm thay đổi $\mathbf{E}$ — tự duy trì sóng.

Lập luận. Bảo toàn điện tích $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ bắt buộc phải có sự hiệu chỉnh: lấy đạo hàm phân kỳ của định luật Ampère ban đầu ($\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}$) và vế trái bằng không đồng nhất trong khi vế phải là $-\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ — khác không bất cứ khi nào điện tích tích tụ. Thêm $\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t$ để sửa lỗi, bởi vì định luật Gauss biến đạo hàm phân kỳ của số hạng đó thành chính xác $+\mu_{0}\partial\rho/\partial t$. Vòng khép lại.

Ví dụ minh họa 1 — ampere bị thiếu của tụ điện. Tụ song tấm đang nạp ở $dQ/dt = 1$ A. Giữa các tấm không có dòng dẫn thoát, nhưng một loop Ampere quanh dây dẫn vẫn phải đọc được cùng 1 A dù bạn chọn mặt phẳng nào để bao lấy nó. Giữa các tấm $E = Q/(\varepsilon_{0}A)$, nên $\varepsilon_{0}A \cdot \partial E/\partial t = dQ/dt = 1$ A ✓ — dòng dịch chuyển CHÍNH LÀ dòng dẫn về mặt giá trị số.

Ví dụ minh họa 2 — nâng lên tốc độ sóng. Trong không gian không nguồn ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), lấy curl của phương trình curl $\mathbf{E}$ và thay thế phương trình $\mathbf{B}$:

phương trình sóng với tốc độ $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$. Thay các số vào: $1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} = 3.0 \times 10^{8}$ m/s — ánh sáng, Quên phương trình nào có dấu trừ (định luật Faraday: đó là định luật Lenz, câu chuyện đang diễn ra bắt đầu từ đây.

Lỗi thường gặp. Coi dòng điện dịch chuyển là sách kế toán tùy chọn (đó chính là thứ làm cho các phương trình nhất quán và truyền tải sóng). trường cảm ứng chống lại sự thay đổi). Và áp dụng tĩnh Ý tưởng, kèm hình ảnh. Trong không gian không nguồn, phương trình sóng đơn giản nhất cho anten: bức xạ CHÍNH là số hạng hiệu chỉnh đang thực hiện vai trò của nó.

Tóm tắt. Bốn phương trình, một vòng lặp; dòng điện dịch chuyển đóng góp vào bảo toàn điện tích và, trong chân không, dẫn đến phương trình sóng ở $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$.

Tại sao điều này quan trọng. Wi-Fi, radar, ánh sáng mặt trời và tần số mang 3 GHz của link bàn đều là cùng một nghiệm: sóng phẳng.

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Trong không gian không nguồn, phương trình sóng giải pháp đơn giản nhất là sóng phẳng: $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ và hướng truyền vuông góc lẫn nhau, cùng pha, với $B = E/c$. Trở kháng đặc trưng $\eta_{0} = \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} = 377\ \Omega$ của không gian tự do xác định tỷ lệ giữa $E$ to $H$; the Poynting vector $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ chỉ theo hướng truyền với $S = E^{2}/\eta_{0}$ (ngay tức thời; với giá trị hiệu dụng của $E$ đây là mật độ công suất trung bình, trong khi sóng sin có biên độ $E_{0}$ sẽ trung bình $E_{0}^{2}/2\eta_{0}$).

$\mathbf{E} = E_{0}\cos(\omega t - kz)\,\hat{x}$. Mật độ công suất thu được từ trở kháng: $\partial B/\partial t = -\partial E/\partial z$. Mật độ công suất thu được từ trở kháng: $B = (k/\omega)E = E/c$. Mật độ công suất suy ra từ trở kháng: $H = E/\eta_{0}$, do đó $S = E \times H = E^{2}/\eta_{0}$ — một con số cho mỗi sóng.

Ví dụ giải chi tiết 1 — đọc các con số. Sóng 100 V/m (hiệu dụng) tại 1 MHz: $B = 100/(3 \times 10^{8}) = 0.333\ \mu$T; bước sóng $\lambda = c/f = 300$ m; mật độ công suất $S = 100^{2}/377 = 26.5$ W/m². Kiểm tra đường dẫn trở kháng: $H = 100/377 = 0.265$ A/m, và $E \times H = 26.5$ ✓ — cả hai đường dẫn đều khớp nhau vì chúng là cùng một tỷ lệ.

Ví dụ minh họa 2 — nâng lên bề mặt vật dẫn. Trong vật dẫn tốt $e^{-\alpha z}$ mm; $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. Đồng ($\sigma = 5.8 \times 10^{7}$): ở 50 Hz, giải thích tại sao lớp chắn hoạt động, tại sao dòng RF chạy trên bề mặt, và tại sao các đoạn mạch PCB ở tần số $\delta = \sqrt{2/(2\pi \cdot 50 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.8 \times 10^{7})} = 9.3$ GHz phải rộng và mạ vàng. tại 1 GHz, $\delta = 2.1\ \mu$m — mỏng hơn khoảng 4500 lần đối với hai mươi triệu lần tần số ($\delta \propto 1/\sqrt{f}$ ✓). Con số này giải thích tại sao lớp chắn hoạt động, tại sao dòng RF di chuyển trên bề mặt, và tại sao các trace 3 GHz trên đường truyền PCB cần đồng rộng, nhẵn: tại 3 GHz dòng điện chỉ tồn tại trong 1.2 µm phía trên cùng, do đó độ nhám bề mặt và bất kỳ lớp mạ nào ở đó sẽ quyết định tổn hao (lớp mạ vàng bảo vệ chống ăn mòn; nhưng dẫn điện kém hơn đồng).

Lỗi thường gặp. Sử dụng $c$ trong điện môi — tốc độ tại đó là $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ (≈ 0.67c trong cáp đồng trục bên dưới). Trộn lẫn $E/H$ (377 Ω trong không gian) với $E/B$ ($c$ — một tốc độ, không phải trở kháng). Và quên rằng trường sóng chỉ cùng pha trong môi trường KHÔNG TỐN KHI.

Tóm tắt. Sóng phẳng: $E \perp B \perp \hat{k}$, $B = E/c$, $S = E^{2}/\eta_{0}$; vật dẫn hấp thụ sóng như $e^{-z/\delta}$ với $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$.

Tại sao nó quan trọng. Hai bo mạch của liên kết bàn thí nghiệm được nối bằng 40 cm cáp đồng trục; tại 3 GHz đó tương đương sáu bước sóng — không còn là mạch điện thông thường nữa, mà là một đường truyền.

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Phương trình Telegraph xem xét đường dây có điện cảm phân bố $L'$ và điện dung $C'$ trên mỗi mét: $\partial v/\partial x = -L'\partial i/\partial t$ và $\partial i/\partial x = -C'\partial v/\partial t$. Các giải pháp của chúng là điện áp/dòng sóng mang $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$ và trở kháng đặc trưng của đường truyền $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$.

Sự suy diễn. Vi phân phương trình đầu tiên trong $x$ và phương trình thứ hai trong $t$ rồi loại bỏ $\partial^{2}i/\partial x \partial t$: thu được phương trình sóng cho $v$ với tốc độ $1/\sqrt{L'C'}$. Tại tải $Z_{L}$, khớp impedanc mang lại hệ số phản xạ $\Gamma = (Z_{L} - Z_{0})/(Z_{L} + Z_{0})$: một đoạn ngắn ($\Gamma = -1$) đảo pha, một đoạn mở ($\Gamma = +1$) làm gấp đôi điện áp và hủy bỏ tín hiệu hiện tại — biểu đồ phản xạ theo dõi mọi lần phản xạ.

Ví dụ minh họa 1 — một cáp đồng trục thực tế. Cáp đồng trục loại RG-316 với $L' = 250$ nH/m và $C' = 100$ pF/m: $Z_{0} = \sqrt{250 \times 10^{-9}/100 \times 10^{-12}} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ ✓ (cáp tiêu chuẩn — các con số được chọn để tạo ra đặc tính đó); $v_{p} = 1/\sqrt{250 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{8}$ m/s = 0.67 cm. Đoạn 40 cm của cáp nối trên bàn là SÁU bước sóng ở tần số 3 GHz ($\lambda = v_{p}/f = 6.7$ cm) — chứng minh quan điểm "dây dẫn, không phải mạch điện" bằng các linh kiện trên bàn thí nghiệm.

Ví dụ minh họa 2 — bước nhảy đầu cuối mở. Dẫn đường truyền 50 Ω bằng bước nhảy 12 V, đầu cuối mở. Sóng tới mang 12 V và $12/50 = 0.24$ A. Tại đầu hở, $\Gamma = +1$: điện áp phản xạ +12 V làm đôi điện áp tải lên thành 24 V và dòng phản xạ $-0.24$ A triệt tiêu dòng tới thành không — một mạch hở không tiêu thụ dòng điện một chiều ổn định ✓, và VSWR tiến tới vô cùng, đây là dấu hiệu đặc trưng của mạch hở mà máy đo sóng dừng ghi nhận.

Lỗi thường gặp. Coi $Z_{0}$ là điện trở vật lý (thực chất nó là tỷ số; một đường dây trở kháng 50 Ω không tổn hao). Tính toán $\lambda$ bằng $c$ thay vì $v_{p}$ (lỗi 30% trên PTFE). Và quên mất phản xạ từ phía nguồn: nếu bộ phát không khớp trở kháng sẽ gây phản xạ lại, do đó biểu đồ phản xạ bắt buộc phải bao gồm phần này. phải bao gồm cả nó.

Tóm tắt. $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$, $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$; $\Gamma = (Z_{L}-Z_{0})/(Z_{L}+Z_{0})$; mở điện áp kép, ngắn mạch triệt tiêu nó; đường dài là sóng, và sơ đồ phản xạ là sổ sách kế toán.

Tại sao điều này quan trọng. Trên ~10 GHz, cáp đồng trục bị suy hao quá mức; đường liên kết trên bàn hậu cần (và mọi hệ thống radar) chuyển sang ống rỗng, và mét cuối cùng của bất kỳ liên kết vô tuyến nào luôn là ăng-ten.

Ý tưởng, kèm hình ảnh. Một ống dẫn điện rỗng chỉ dẫn sóng khi trên tần số cắt: chế độ chính của ống dẫn hình chữ nhật bị cắt ở $f_{c} = c/(2a)$ ($a$ = kích thước rộng). Trên tần số cắt, ống bước sóng trong ống dẫn bị kéo dài: $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1 - (f_{c}/f)^{2}}$ — sóng đi zigzag, nên ít trục hơn có thể vừa trong mỗi mét ống. Anten hoàn tất liên kết: bước sóng nửa dipole có độ lợi 2.15 dBi và điện trở vào ≈ 73 Ω; phần Mỗi dB trong chuỗi là một quyết định thiết kế; hạng tử cuối cùng là thuần túy hình học

Sự suy diễn. Giữa các tấm của ống dẫn, trường phải vừa khít một bán sóng đứng trên $a$: $a = \lambda_{c}/2$ tại tần số cắt, do đó $f_{c} = c/2a$. Dọc theo ống dẫn, hằng số lan truyền thỏa mãn $k_{g}^{2} = k^{2} - (\pi/a)^{2}$; giải phương trình để tìm bước sóng sẽ thu được kéo công thức ở trên. Chuỗi Friis nhân: công suất phát × cả hai độ lợi × hệ số lan truyền $(\lambda/4\pi R)^{2}$ — tỷ lệ diện tích, là diện tích mặt khẩu anten so với diện tích hình cầu.

Ví dụ minh họa 1 — WR-90 ở băng X. Ống dẫn sóng WR-90 có $a = 22.86$ mm: $f_{c} = 3 \times 10^{8}/(2 \times 0.02286) = 6.56$ GHz — Băng X (8.2–12.4 GHz) nằm trên tần số cắt. Tại 10 GHz ($\lambda = 30$ mm): $\lambda_{g} = 30/\sqrt{1 - 0.656^{2}} = 39.8$ mm — dài hơn không gian tự do 33%. Kiểm tra giới hạn: khi $f \to f_{c}$, $\lambda_{g} \to \infty$ (sóng dừng lại); khi $f \to \infty$, $\lambda_{g} \to \lambda$ (sóng zigzag biến mất) ✓.

Ví dụ minh họa 2 — ngân sách liên kết bàn thí nghiệm. Hai anten 10-dBi (G = 10) cách nhau 1 m trên bàn thí nghiệm, ở tần số 3 GHz ($\lambda = 0.1$ m): $P_{r}/P_{t} = 10 \times 10 \times (0.1/(4\pi \times 1))^{2} = 100 \times 6.33 \times 10^{-5} = 6.3 \times 10^{-3}$ — 22 dB suy hao, vẫn dễ dàng trên bàn thí nghiệm. Mở rộng cho cùng các bo mạch cách nhau 1 km $(0.1/(4\pi \times 1000))^{2} = 6.33 \times 10^{-11}$, nhân với 100 = $6.3 \times 10^{-9}$ (−82 dB) — ngân sách liên quyết định kích thước đĩa. Một công thức, hai quy mô, và tỷ lệ giữa chúng là thuần túy hình học ($R^{2}$, một hệ số $10^{6}$ ✓).

Lỗi thường gặp. Sử dụng kích thước HẸP của ống dẫn cho $f_{c}$ (tần số cắt được xác định bởi chiều rộng). Áp dụng $\lambda_{g}$ như thể nó là $\lambda$ trong Friis (bước sóng tự do thuộc về vị trí đó). Và trích dẫn độ lợi dipole theo dB không có "i": 2.15 dBi là tương đối với isotropic; tương đối với dipole đó là không.

Tóm tắt. Hướng dẫn: $f_{c} = c/2a$, $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}$ (kéo dài, vô hạn tại ngưỡng cắt). ăng-ten: Friis $P_{r}/P_{t} = G_{r}G_{t}(\lambda/4\pi R)^{2}$ — hình học quyết định số hạng cuối cùng mỗi lần.