Phương pháp toán cho kỹ thuật điện

This is the second course in University Electrical Engineering: mathematical methods — the toolkit the rest of the degree runs on. Wave 1's DC circuits needed only algebra; from AC circuits onward, every method rests on something taught đại số tuyến tính.

• Units 2.1–2.3 refresh and extend the algebra: calculus for signals, complex chuỗi Fourier.
• Các đơn vị 2.4–2.6 xử lý tính ngẫu nhiên và trường: xác suất cho nhiễu, giải tích vector cho điện từ. Thói quen này giống hệt với toàn bộ chương trình đào tạo: kiểm tra mọi kết quả biểu thức bằng giá trị cụ thể — một tích phân bằng tổng, một hệ đã giải bằng cách thay thế, một cặp biến đổi bằng cách tính cả hai vế.
• Units 2.7–2.8 handle randomness and fields: probability for noise, vector một cách chính xác, suy diễn những điều mà các khóa học sau này trích dẫn, giải quyết hai ví dụ tăng dần có

các giá trị được kiểm chứng bởi máy tính, nêu rõ các lỗi kinh điển, và kết thúc bằng tóm tắt ba dòng. Thói quen này giống hệt với thói quen mà toàn bộ chương trình sử dụng: kiểm tra mọi kết quả biểu thức bằng giá trị số cụ thể — tích phân bằng tổng, hệ phương trình được giải bằng cách thế, cặp biến đổi bằng cách tính cả hai vế. biểu thức ký hiệu dưới dạng số tại một giá trị cụ thể — tích phân qua tổng, phương trình đã giải hệ phương trình bằng thế, cặp biến đổi bằng cách tính cả hai vế.

Đường quét màn hình tăng dần từ 0 đến 5 V rồi đi ngang. Dòng điện vào một diện tích tích lũy. điện tích được cung cấp trong một khoảng thời gian chính là diện tích nằm dưới đường quét dòng điện. Tín hiệu là hàm theo thời gian, và vi tích phân đọc chúng: đạo hàm $dv/dt$ là độ dốc — tốc độ thay đổi tức thời; tích phân $\int i\,dt$ là diện tích tích lũy.

Đối với bài tập EE sắp tới, ba sự thật sau đây làm chủ yếu công việc:

• Đạo hàm của $e^{at}$ là $a\cdot e^{at}$ — tốc độ mũ chính là bản thân nó độ dốc.
• Tích phân của một xung hình chữ nhật (chiều cao $A$, chiều rộng $τ$) chính là diện tích $Aτ$.
• Diện tích tam giác bằng một nửa hình chữ nhật bao quanh — và $\int_0^\infty A e^{-t/τ}\,dt = Aτ$. Hai phương pháp, một đáp án — đó chính là hằng số của nó, nên "chiều rộng hiệu dụng" là $τ$).

Suy ra độ dốc tự thân của $e^{at}$. Định nghĩa giới hạn: $\frac{d}{dt}e^{at} = \lim_{h\to 0}\frac{e^{a(t+h)} - e^{at}}{h} = e^{at}\lim_{h\to 0}\frac{e^{ah} - 1}{h} = e^{at}\cdot a$ — thành phần mũ được rút ra khỏi thương số sai phân của chính nó, đó là lý do tại sao các mạch biến thiên theo $e^{at}$ vẫn giữ nguyên dạng đó dưới phép vi phân.

Ví dụ giải chi tiết 1 (đường ramp tuyến tính, đã kiểm chứng). Một tụ điện nạp điện tuyến tính từ 0 đến 5 V trong 2 s ($v = 2.5t$): với $C = 100\ \mu F$, $i = C\,dv/dt = 100\mu \times 2.5 = 250\ \mu A$ — không đổi, vì độ dốc của đường ramp là không đổi. Điện tích truyền đi là $\int i\,dt = 250\mu \times 2 = 500\ \mu C$, điều này cũng bằng $C \times \Delta V = 100\mu \times 5$. Hai phương pháp, một kết quả — đó chính là thói quen kiểm tra.

Ví dụ giải chi tiết 2 ( xung mũ, mở rộng). Xung cảm biến suy giảm theo $i(t) = 5 e^{-t/0.2}$ mA (cực đại 5 mA, hằng số thời gian $τ = 0.2$ s). Tổng điện tích là diện tích $\int_0^\infty 5e^{-t/0.2} dt = 5 \times 0.2 = 1.0$ mC — quy tắc "chiều rộng hiệu dụng" đang được áp dụng. Độ dốc cực đại tại $t = 0$: điều này không phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên mà chính là ý nghĩa của $\frac{di}{dt} = -\frac{5}{0.2} = -25$. hình chữ nhật có chiều cao 5 mA và chiều rộng 0.2 s sẽ cho chính xác cùng một 1.0 mC — Quên rằng tích phân mang dấu: diện tích nằm dưới trục hoành sẽ bị trừ đi. Bỏ mất đơn vị bên trong dấu tích phân ($τ$, luôn luôn).

Lỗi thường gặp. Đạo hàm của giá trị thay vì độ dốc của tín hiệu ramp Quên rằng tích phân mang dấu: diện tích nằm dưới trục hoành sẽ bị trừ đi. Bỏ qua đơn vị bên trong dấu tích phân (5, luôn luôn). Unintentionally quên rằng tích phân có dấu: diện tích nằm dưới trục hoành bị trừ đi. Bỏ qua các đơn vị bên trong tích phân ($\mu A \times s = \mu C$, luôn luôn).

Tóm tắt: đạo hàm = độ dốc, tích phân = diện tích có dấu; hàm mũ là chính nó độ dốc; diện tích một xung bằng chiều cao × độ rộng hiệu dụng ($τ$ cho một hàm mũ suy giảm) — và mọi câu trả lời đều có đơn vị.

230 trực tiếp — mô-đun chia nhau, phần argument trừ đi. Thực hiện điều tương tự trên mặt phẳng. Một số phức $z = a + jb$ (với $j^{2} = -1$) có phần thực, phần ảo, mô-đun $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và argument $θ = \text{atan2}(b, a)$. Hai dạng này hoán đổi được cho nhau:

— Công thức Euler, cầu nối mà kỹ thuật điện sử dụng khắp nơi. Phép nhân cộng arguments: $r_{1}e^{jθ_{1}} \cdot r_{2}e^{jθ_{2}} = r_{1}r_{2} e^{j(θ_{1}+θ_{2})}$ — một phép quay và một phép co giãn, đúng như cách mà sự dịch pha và biên độ thay đổi của sóng điều hòa trông giống như.

Ví dụ minh họa 1 (chia hai số phức dạng pha, kiểm tra bằng phép nghịch đảo). Chia $6\angle 30^{\circ}$ cho $2\angle 80^{\circ}$: trong dạng cực, kết quả là $3\angle -50^{\circ}$ trực tiếp — mô-đun chia, argument trừ đi. Làm tương tự trong dạng đại số có nghĩa là nhân cả tử và mẫu với liên hợp của $(5.196 + j3)/(0.347 + j1.970)$ — khả thi, nhưng đường đi theo dạng cực là lý do tại sao kỹ thuật điện hoạt động hiệu quả trong phasors. Một cách kiểm tra thứ ba: $3\angle -50^{\circ} \times 2\angle 80^{\circ} = 6\angle 30^{\circ}$ — phép nghịch đảo phép toán phải trả về giá trị ban đầu.

Ví dụ minh họa 2 (phương trình bậc hai có nghiệm phức, nâng cao). Một phương trình đặc trưng của hệ thống suy giảm $s^{2} + 2s + 5 = 0$ có các nghiệm $s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm j2$. Trong dạng cực, các nghiệm là cặp liên hợp $2.236\angle \pm 116.6^{\circ}$ (modulus $\sqrt{1+4} = 2.236$). Kiểm tra bằng cách thay thế: $(-1+j2)^{2} + 2(-1+j2) + 5 = (-3 - j4) + (-2 + j4) + 5 = 0$ chính xác. Phần thực của các nghiệm' $-1$ là tốc độ suy giảm và phần ảo $2$ rad/s là tần số dao động — một số phức mang cả hai tính chất này, đó là lý do tại sao các thành phần còn lại của bậc luôn giữ chúng gắn liền với nhau. bậc giữ chúng lại với nhau.

Lỗi thường gặp. Cộng mô-đun thay vì cộng số phức (mô-đun không not add; rectangular parts do). Using degrees inside $e^{jθ}$ formulas that assume radians. Confusing $j$ rotation direction: multiplying by $j$ rotates $+90°$, bởi vì $-j$ quay $-90°$.

Tóm tắt: hai dạng, một con số — dạng hình chữ nhật để cộng, dạng cực để nhân và chia; đẳng thức Euler là cầu nối; nghiệm của phương trình bậc hai mang theo sự suy giảm trong phần thực và tần số trong phần ảo.

Ba dòng điện lưới trong mạch ghép đôi nghĩa là ba phương trình trong ba ẩn — và cấu trúc lời giải không phải là "thay thế thông minh" mà là ma trận. Một hệ tuyến tính $Ax = b$ được giải bằng phương pháp triệt tiêu; một ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ chỉ tồn tại khi định thức khác không. Đối với 2×2 trường hợp:

Định thức $ad - bc = 0$ có nghĩa là các phương trình là tính chất kỳ dị — không có nghiệm duy nhất, và trong mạch điện là vòng nguồn phụ thuộc hoặc nút nổi.

Suy ra ma trận nghịch đảo 2×2. Nhân $A$ với ứng viên của nó: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = I$ — quy tắc hoán vị và đổi dấu tồn tại chính xác vì những số hạng chéo này triệt tiêu nhau.

Ví dụ có hướng dẫn 1 (triệt tiêu và nghịch đảo khớp nhau). Giải $x + 2y = 8$, $3x + y = 9$. Elimination: subtract 3×row1 from row2 → $-5y = -15$, so $y = 3$, $x = 2$. Kiểm tra bằng nghịch đảo: định thức $= 1\cdot1 - 2\cdot3 = -5$; $A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$; $x = (1\cdot8 - 2\cdot9)/{-5} = 2$ ✓, $y = (-3\cdot8 + 1\cdot9)/{-5} = 3$ ✓. Cả hai cách tiếp cận đều khớp nhau; mỗi cách là sự kiểm chứng của cách kia.

Ví dụ có hướng dẫn 2 (hệ lưới, giải bằng máy, nâng cao). Mạch EE01 hai lưới đóng lại thành một phương trình ma trận $\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i_A \\ i_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix}$. Loại trừ (hoặc ngược; det $= 60 - 16 = 44$) cho $i_A = 2.455$ A, $i_B = 0.682$ A — đã xác minh bằng cách thế vào cả hai phương trình gốc với độ chính xác máy tính. Giá trị âm off-diagonal entries $-4$ are the shared resistor speaking: coupling shows up as hạng tử ngoài đường chéo, và sự coupling càng lớn thì định thức càng nằm xa khỏi tích các số hạng trên đường chéo. Bây giờ xét trường hợp suy biến: $x + 2y = 8$, $2x + 4y = 16$ có định thức $1\cdot4 - 2\cdot2 = 0$ — phương trình thứ hai là just gấp đôi phương trình đầu tiên (một đường thẳng vô số nghiệm, không phải một điểm).

Lỗi thường gặp. Trộn lẫn thứ tự dòng giữa $A$ và $b$. Cho rằng định thức khác không đảm bảo giải dễ dàng — nó chỉ đảm bảo tính duy nhất, chứ không phải sự thuận tiện. Quên rằng hệ suy biến có thể không có nghiệm (mặt phẳng song song) hoặc vô số nghiệm (mặt phẳng phụ thuộc): định thức không thể phân biệt được trường hợp nào.

Tóm tắt: $Ax = b$ với det ≠ 0 có đúng một nghiệm; loại trừ tính toán nó, ngược tính lại nó, và thế để kiểm tra nó; sự coupling nằm ở các số hạng ngoài đường chéo; det = 0 nghĩa là hình học đã bị thu gọn.

Công tắc đóng tại $t = 0$ và điện áp tụ điện trượt về giá trị mới của nó — sóng 1's đáp ứng RC là một ví dụ của mô hình mà đơn vị này tổng quát hóa. Các phương trình mạch là phương trình vi phân thường. Một bậc PT vi phân tuyến tính hệ số hằng,

có nghiệm = phần phân đồng nhất $Ce^{-at}$ + phần đặc biệt bị cưỡng bức bởi $f$. Số hạng phân đồng nhất chứa điều kiện ban đầu.

Tại sao nghiệm có dạng này. Với $\frac{dy}{dt} = -a(y - y_\infty)$, viết lại thành $\frac{dy}{y - y_\infty} = -a\,dt$: mỗi vế giờ có thể tích phân, cho $\ln(y - y_\infty) = -at + C$, tức là $y - y_\infty = \tilde C e^{-at}$. Khoảng cách đến giá trị cuối cùng giảm theo hàm mũ — mọi hệ bậc nhất đều trượt xuống theo tỷ lệ phần trăm riêng của nó.

Ví dụ minh họa 1 (RC bước, kiểm tra điểm cuối). $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. Phân đồng nhất: $Ce^{-2t}$. Đặc biệt (đầu vào hằng → đầu ra hằng): $y_{p} = 10/2 = 5$. Vậy $y = 5 + Ce^{-2t}$; $y(0) = 5 + C = 1$ cho $C = -4$: $y = 5 - 4e^{-2t}$. Kiểm tra: tại $t = 0$, $y = 1$ ✓; khi $t \to \infty$, $y \to 5$ và $dy/dt \to 0$, nên phương trình trở thành $0 + 2(5) = 10$ ✓. Đây chính là phương trình RC của đơn vị 1.7 ở dạng tổng quát — phương pháp, không phải mạch, mới là yếu tố điều khóa học này truyền đạt.

Ví dụ minh họa 2 (đầu vào suy giảm, xác minh bằng máy, nâng cấp). Giải $\frac{dy}{dt} + 3y = 6e^{-t}$, $y(0) = 2$. Thử một phần đặc biệt $y_p = ke^{-t}$: $-ke^{-t} + 3ke^{-t} = 2ke^{-t} = 6e^{-t}$ cho $k = 3$. Vậy $y = 3e^{-t} + Ce^{-3t}$; $y(0) = 3 + C = 2$ gives $C = -1$: $y = 3e^{-t} - e^{-3t}$ . Kiểm tra tại $t = 0.5$: $y = 3(0.6065) - 0.2231 = 1.596$. Thay vào vế trái: $dy/dt + 3y = -1.150 + 3(1.596) = 3.639$, và vế phải là $6e^{-0.5} = 3.639$ — bằng độ chính xác của máy. Đáp ứng tuân theo hai hàm mũ, $(-1)$ của tín hiệu đầu vào và $(-3)$ của hệ thống.

Lỗi thường gặp. Giải phương trình thuần nhất và quên phần phần đặc biệt hoàn toàn. Để điều kiện ban đầu chọn $k$ trong phương án phần đặc biệt (chỉ hằng số thuần nhất mới tự do). Chỉ kiểm tra $t = 0$: cũng cần kiểm tra giới hạn lớn-$t$, khi đó phương trình phải cân bằng với $dy/dt \approx 0$.

Tóm tắt: thuần nhất + đặc biệt; điều kiện ban đầu chọn từ họ nghiệm; phân tích biến giải thích hình dạng hàm mũ; kiểm tra điểm cuối ở cả hai đầu đều được phép.

Giải ODE bằng tay chỉ khả thi cho một phương trình; mạch có ba phần tử lưu trữ đòi hỏi ba. Biến đổi Laplace biến đạo hàm thành nhân với $s$, chuyển đổi toàn bộ hệ thống thành đại số:

Suy ra cặp chính. $\int_0^\infty e^{at}e^{-st}dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{s-a}$ (for $\text{Re}\,s > a$) — hàm mũ hấp thụ sự suy giảm của chính nó, để lại cực đơn giản. Một tính toán duy nhất tạo ra hầu hết bảng tra cứu.

Ba quy tắc làm việc: $\mathcal{L}\{dy/dt\} = sY - y(0)$ (điều kiện ban đầu nhập vào đại số); $\mathcal{L}\{1\} = 1/s$; và phân tích phân thức tách một hàm hữu tỷ $F(s)$ thành các phần tử có thể nghịch đảo.

Ví dụ minh họa 1 (phương trình vi phân đơn vị-2.4, bằng biến đổi). Giải $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. Biến đổi: $sY - 1 + 2Y = 10/s$, do đó $Y = (10/s + 1)/(s + 2) = 10/[s(s+2)] + 1/(s+2)$. Partial fractions: $10/[s(s+2)] = 5/s - 5/(s+2)$ . Vậy $Y = 5/s - 4/(s+2)$, và nghịch đảo từng số hạng: $y = 5 - 4e^{-2t}$ — giống hệt với phương pháp cổ điển, trong đó điều kiện ban đầu được xử lý bằng ghi chép thay vì đại số ở cuối. Các cực của $Y$ (ở đây là $s = 0, -2$) dự đoán sự hành vi: một hằng số và một hàm mũ suy giảm.

Ví dụ minh họa 2 (bậc hai, kiểm tra máy, nâng cao). $\frac{d^2y} {dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$ . Biến đổi: $(s^{2} + 3s + 2)Y = s + 3$ (áp dụng quy tắc đạo hàm hai lần), nên $Y = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}$. Invert: $y = 2e^{-t} - e^{-2t}$. Checks: $y(0) = 2 - 1 = 1$ ✓; $y'(0) = -2 + 2 = 0$ ✓; $y(1) = 0.736 - 0.135 = 0.600$ (machine-verified). The two poles $-1, -2$ are the hai phân rã, với cực chậm $-1$ chi phối phần đuôi — quan sát rằng sau này trong các khóa học sẽ trở thành xấp xỉ cực chủ đạo.

Lỗi thường gặp. Quên $-y(0)$ trong quy tắc đạo hàm (và các bạn bè bậc hai của nó $-y'(0) - s\,y(0)$). Nghịch đảo một $Y$ mà các phân thức chưa tách hoàn toàn: $\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ phải trở thành hai phần tử đơn giản trước khi bất kỳ bảng tra cứu. Đọc một zero ở tử số là cực (zero chặn; cực giảm dần).

Tóm tắt: vi phân → nhân với $s$, bao gồm cả phần đầu; phân phân thức riêng $Y$; cực dự báo hành vi theo thời gian; biến đổi và các phương pháp cổ điển phải phù hợp — sự phù hợp đó chính là phép kiểm tra.

Dạng sóng nguồn bị méo làm nóng một điện trở đúng bằng cách kết hợp nào đó của các tín hiệu sin thuần túy — và tổ hợp nào không phải là phỏng đoán mà là tính toán. Mọi tín hiệu chu kỳ đều là tổng của các tín hiệu sin. Với chu kỳ $T$, tần số cơ bản $ω_{0} = 2π/T$, chuỗi Fourier là

với mỗi $a_{n}$, $b_{n}$ là giá trị trung bình của $f$ đối với hàm sin tương ứng (tính trực giao: các tín hiệu sin khác nhau có trung bình bằng 0 đối với nhau — vì vậy mỗi hệ số có thể được chọn độc lập, giống như một bộ lọc cộng hưởng), bộ lọc).

Ví dụ minh họa 1 (dạng sóng vuông, được xác minh tại điểm đặc biệt). Dạng sóng vuông, ±1, chu kỳ $T$, đối xứng lẻ: tất cả $a_{n} = 0$, và $b_{n} = 4/(nπ)$ cho các số lẻ $n$ — chuỗi $\frac{4}{\pi}(\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \dots)$. The check that convinces: at $t = T/4$ các phải cho ra 1, và $\frac{4}{\pi}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots)$ là chuỗi Gregory cho $π/4$ đã được nhân lên — nó hội tụ về 1, đúng như dạng sóng vuông yêu cầu. Biên độ của mọi hòa âm giảm theo $1/n$: cạnh sắc hơn cần nhiều hòa âm hơn, đó chính là toàn bộ quá trình lọc.

Ví dụ minh họa 2 (công suất trong các hòa âm, được máy tính xác minh, nâng cao). Một nguồn ±1 V sóng vuông qua 1 Ω cung cấp công suất trung bình 1 W (trung bình của một biên độ không đổi). Định lý Parseval cho thấy tổng các công suất điều hòa phải bằng 1 W: $\sum_{n\ \text{odd}} \frac{1}{2}\big(\frac{4}{n\pi}\big)^{2} = \frac{8}{\pi^{2}} \big(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots\big)$. Tổng 20 thành biên đầu tiên cho 0.990 W; toàn bộ chuỗi hội tụ về 1 W chính xác (tổng của bình phương nghịch đảo số lẻ là $π^{2}/8$, tạo nên tổng $\frac{8}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8} = 1$). Kết quả thực tế: chỉ có thành biên cơ bản mang $\frac{8}{\pi^{2}} \approx 81\%$ công suất — một bộ lọc thấp tần giữ lại chỉ thành biên đầu tiên vẫn cung cấp hầu hết năng lượng, và thành biên thứ ba với biên độ 1/3 chỉ thêm 9%.

Lỗi thường gặp. Sử dụng $1/T$ (hertz) thay vì $ω_0 = 2π/T$ (rad/s) làm đại lượng cơ bản hệ số độc lập; biên độ giảm theo $\frac{1}{2}$ tại các cạnh; định lý Parseval kiểm tra công suất; hiện tượng Gibbs luôn tồn tại. Mọi phép đo đều có nhiễu; chính nhiễu đó là một tín hiệu bạn không thể dự đoán — nhưng thống kê của nó ổn định, và sự ổn định này là yếu tố mà các thiết bị khai thác. Một được đặt.

Tóm tắt: tín hiệu chu kỳ phân rã thành các thành biên; tính trực giao chọn từng hệ số độc lập; biên độ giảm theo $1/n$ tại các cạnh; Parseval kiểm tra công suất; hiện tượng vọt Gibbs không bao giờ biến mất.

Mọi phép đo đều có nhiễu; chính nhiễu là một tín hiệu bạn không thể dự đoán — nhưng thống kê của nó ổn định, và sự ổn định đó là điều các thiết bị khai thác. Một biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất; Phân bố Gaussian (chuẩn) $N(\mu, \sigma^{2})$ mô hình hóa nhiễu nhiệt:

Kỳ vọng $E[X]$ là trung bình dài hạn; phương sai $Var(X) = E[X^{2}] - \mu^{2}$ là độ phân tán, và $\sigma$ — độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn** — là biên độ nhiễu mà oscilloscope hiển thị. Hai quy tắc thực hầu hết công việc: phương sai độc lập cộng ($\sigma_{total} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$), and the average of $n$ independent samples has standard deviation $\sigma/\sqrt{n}$.

Ví dụ minh họa 1 (quy tắc 2σ và trung bình hóa). Đối với $X \sim N(0, \sigma^{2})$ với $\sigma = 2$ mV: $E[X] = 0$, $Var = 4$ (mV)², $\sigma = 2$ mV. Xác suất vượt quá $\pm 2\sigma$ là 4.55% (dải hai phía 95 là $\pm 1.96\sigma \approx \pm 3.9$ mV). Averaging 16 independent samples yields $2/\sqrt{16} = 0.5$ mV nhiễu — cơ sở toàn bộ của việc trung bình hóa thiết bị.

Nhiễu tổng hợp không phải là 2 mV mà là giai đoạn thêm 2 mV nhiễu vào tín hiệu đã mang 3 mV từ giai đoạn trước giai đoạn. Nhiễu tổng hợp không phải $3 + 2 = 5$ mV mà Cải thiện tỷ số tín trên nhiễu từ việc trung bình những đọc số $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} = 3.61$ đó: nguồn nhỏ hơn đóng góp tỷ lệ ít hơn giá trị bề mặt của nó. Cải thiện tỷ số tín trên nhiễu do trung bình hóa những 16 lần đọc này: $20\log_{10}(4) = 12.0$ dB. Nguyên tắc thiết kế: mười sáu lần đọc mua được 12 dB, và mỗi lần tăng 6 dB tốn bốn lần số lần đọc (và bốn lần thời gian đo); cố định nguồn nhiễu chủ đạo tại nguồn gốc thì không tốn thời gian đo — giảm nửa 3 mV xuống 1.5 mV sẽ cho $\sqrt{1.5^{2} + 2^{2}} = 2.5$ mV, mức cải thiện 3.2 dB trên mọi lần đọc đơn lẻ.

Lỗi thường gặp. Cộng các độ lệch chuẩn thay vì phương sai. Nhầm lẫn $\sigma$ và $\sigma^{2}$ trong bảng biểu và công thức (màn hình hiển thị σ; các công thức thường dùng σ²). Quên rằng sự cải thiện $\sigma/\sqrt{n}$ giả định tính độc lập — nhiễu có tương quan (tiếng ồn nguồn điện) không tự trung hòa.

Tóm tắt: phân bố chuẩn là mô hình nhiễu; σ là nhiễu của màn hình; các phương sai độc lập cộng lại, trung bình chia σ cho √n; giải quyết nguồn chính trước, sau đó tính trung bình.

Đầu dò điện áp báo về một giá trị tại mỗi điểm trong không gian — một toàn bộ vùng giá trị, và các phương trình Maxwell của EE07 là những phát biểu về hình học của vùng này. Các trường là hàm số nhận giá trị vector phụ thuộc vào vị trí. Ba toán tử trên một trường $\mathbf{F}$:

• Gradient $\nabla V$: chỉ hướng lên dốc đứng nhất của vô hướng; trường điện là $E = -\nabla V$.
• Divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$: tổng lưu lượng đi ra ngoài trên đơn vị thể tích — mật độ điện tích đối với trường điện.
• Curl $\nabla \times \mathbf{F}$: lưu thông trên đơn vị diện tích — bằng không Đối với tĩnh điện, cơ chế cảm ứng khi nó không xảy ra.

Ví dụ minh họa 1 (đạo hàm dự đoán sự giảm, được kiểm chứng bằng tính toán số). $V(x, y) = 3x^{2}y$ volt. $\nabla V = (6xy, 3x^{2})$; tại điểm $(1, 2)$: $\nabla V = (12, 3)$, do đó $E = -(12, 3)$ V/m. Kiểm tra: di chuyển một bước nhỏ $\delta = (0.01, 0)$ từ $(1, 2)$ — $V$ thay đổi $\approx 6xy\cdot\delta x = 12 \times 0.01 = 0.12$ V, and $-E\cdot\delta = 12 \times 0.01 = 0.12$ V: phần trường nhân với bước đi dự đoán sự giảm thế năng, điều này chính là ý nghĩa của đạo hàm.

Ví dụ minh họa 2 (tính phân kỳ và độ xo tay bằng tay, nâng cao). Đối với $\mathbf{F} = (x^{2},\ xy,\ 3x^{2}z)$: $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + x + 3x^{2}$, tại $(1,1,1)$ bằng $2 + 1 + 3 = 6$ — một nguồn tổng hợp. Đối với trường tuần hoàn $\mathbf{G} = (-y,\ x,\ 0)$: thành phần $z$ của độ xoáy là $\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ — quay đồng nhất với độ mạnh 2 ở mọi nơi: trường vận tốc của một vật cứng quay ở 1 rad/s, có độ xoáy gấp đôi vận tốc góc. Hai phép tính này là các phiên bản điểm của Định luật Gauss và Stokes trong EE07.

Lỗi thường gặp. Lấy đạo hàm của một vectơ hoặc phân kỳ của một vô hướng — đạo hàm chỉ dành cho vô hướng, phân kỳ chỉ dành cho vectơ. Lỗi dấu trong độ xoáy: thông lượng vô hướng — đạo hàm riêng áp dụng cho vô hướng, thông lượng áp dụng cho vectơ. Dấu sai trong độ xoáy: thành phần $z$ là $\partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y$; đảo ngược chúng Tóm tắt: đạo hàm là hướng dốc nhất (vô hướng→vectơ), phân kỳ là dòng chảy tổng hợp

Tóm tắt: đạo hàm riêng chỉ hướng dốc nhất (vô hướng→vectơ), thông lượng chỉ dòng chảy ròng (vector→scalar), độ xoáy là lưu thông (vector→vector); một bước cần thống nhất $E \cdot \delta$ với $\delta V$.