Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Giải và phân loại phương trình bậc nhất một ẩn có tham số
- Diễn giải phương trình bậc nhất hai ẩn dưới dạng tập hợp các cặp có thứ tự
- Diễn giải hệ số góc và tung độ gốc của hàm tuyến tính có ngữ cảnh
- Phân loại hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và kiểm tra giao điểm của chúng
- Biểu diễn bất đẳng thức nghiêm ngặt và bao gồm trong một hoặc hai biến
Tiền đề: Góp các hạng tử đồng dạng; thay thế cặp có thứ tự; số học có dấu.
Giải thích và chọn phương pháp
Collect variable terms and constants separately. An equation ax+b=cx+d becomes (a-c)x=d-b. If a-c is nonzero there is one solution; if both sides reduce to zero there are infinitely many; if the variable coefficient is zero but the constant is nonzero there are none. Never divide by a parameter before checking whether it can be zero.
Một phương trình hai biến cho một tập hợp các cặp có thứ tự. Trong y=mx+b, m là sự thay đổi của y theo mỗi đơn vị x và b là giá trị của y tại x=0. Đối với mô hình thực tế, hãy gắn đơn vị vào cả hai: phí taxi C=3t+5 có mức phí ban đầu theo đơn vị 5 và chi phí theo đơn vị thời gian là 3. Intercept có thể nằm ngoài miền giá trị thực tế mặc dù nó tồn tại về mặt đại số.
Đối với hệ phương trình, hãy so sánh cả hai hệ số và hằng số. Nhân toàn bộ một phương trình với một số khác không sẽ tạo ra cùng một đường thẳng; việc khớp hệ số biến nhưng khác hằng số cho ra các đường thẳng song song phân biệt. Nếu không, giao điểm sẽ cung cấp cặp thỏa mãn cả hai phương trình. Thay cặp đó vào cả hai phương trình gốc để kiểm tra.
Nhân hoặc chia bất đẳng thức với một số âm sẽ đảo ngược hướng của nó. Bất đẳng thức nghiêm ngặt (strict) loại trừ biên, trong khi ≤ hoặc ≥ bao gồm biên. Đối với hai biến, hãy vẽ đường thẳng tương ứng và thử một điểm xa nó để xác định nửa mặt phẳng được phép. Sơ đồ là biểu diễn của tất cả các nghiệm, không phải một điểm ưu tiên duy nhất.
Một đẳng thức đúng với mọi đầu vào được phép. Bắt đầu từ $ax+b=cx+d$. Gom các số hạng: $(a-c)x=d-b$. Kiểm tra $a-c$ trước khi chia. Nếu $a=c$ và $b=d$, mọi giá trị thực đều thỏa mãn. Nếu chỉ có $a=c$, không có giá trị nào thỏa mãn. Trong trường hợp khác, $x=(d-b)/(a-c)$ cho một nghiệm duy nhất.
*Các bước minh họa: (a-c)x = d-b → a-c = 0: kiểm tra d-b → a-c ≠ 0: chia an toàn
Ví dụ minh họa. Với kx+6=2x+6, k=2 cho 0=0 và vô số nghiệm; k≠2 cho x=0. Với -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. Với y≤2x+1, (0,0) đúng và biên đặc bao gồm. Hệ 2x+4y=10 và x+2y=6 vô nghiệm vì nhân đôi phương trình thứ hai sẽ có cùng vế trái bằng 12, không phải 10.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Phân loại các nghiệm của $(p-1)x+3=2x+p$ với mọi số thực $p$.
Lập luận. Rút gọn để thu được $(p-3)x=p-3$. Tại $p=3$, phương trình là $0=0$, nên mọi số thực $x$ đều thỏa mãn. Tại $p\ne3$, chia cho $p-3$ để thu được $x=1$. Không có giá trị nào của $p$ khiến phương trình vô nghiệm. Thay $x=1$ vào sẽ thu được $p+2$ ở cả hai vế.
Thực hành 2
Chi phí thuê $C$ yuan gồm phí cố định $f$ yuan và tỷ lệ $r$ yuan mỗi giờ. Ba giờ tốn 31 yuan; bảy giờ tốn 59 yuan. Tìm $f,r$ và số nguyên giờ lớn nhất có thể thuê với 80 yuan.
Lập luận. Sử dụng $C=f+rt$. Các phương trình là $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ và $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. Trừ: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. Sau đó $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. Ngân sách: $10+7t\le80$, do đó $t\le10$ giờ. Mười giờ nguyên đủ ngân sách; mười một giờ tốn 87 tệ.
Thực hành 3
Mô tả tất cả các điểm thỏa $y>2x-1$ và $y\le-x+5$. Điểm $(2,3)$ có thuộc về tập nghiệm không? Nêu các giá trị $x$ có thể xảy ra.
Lập luận. Biên đầu tiên là nét đứt và biên thứ hai là nét liền. Vùng chung nằm phía trên đường thẳng đầu tiên và nằm trên hoặc dưới đường thẳng thứ hai. Tại $(2,3)$, điều kiện đầu tiên là $3>3$, điều này không đúng. Để khoảng dọc tồn tại, cần $2x-1<-x+5$, từ đó suy ra $x<2$. Hai đường thẳng giao nhau tại $(2,3)$ nhưng điểm giao chính bị loại bỏ.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Đừng nhầm lẫn x=0 với hệ số biến mất, chỉ đảo chiều khi nhân/chia cho số âm, hay tô màu một nửa mặt phẳng dựa hoàn toàn vào độ dốc của đường thẳng.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.