Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Áp dụng tỷ lệ chiều dài, diện tích và thể tích cho các hình tương đồng
- Sử dụng góc đường thẳng song song và tổng tam giác để tìm ẩn số
- Phân biệt tính tương đồng với tính bằng nhau và thông tin đủ
Kiến thức nền: Tổng ba góc trong tam giác; Pythagoras; đơn vị chiều dài/diện tích/thể tích.
Giải thích và chọn phương pháp
Đối với các hình tương đồng với tỷ lệ chiều dài k, các chiều dài tương ứng tăng theo k, diện tích theo k² và thể tích theo k³. Các luật này áp dụng khi tất cả các chiều tương ứng thay đổi cùng nhau. Một hình trụ chỉ bán kính gấp đôi và chiều cao cố định có thể tích gấp bốn lần, chứ không phải tám lần. Hãy nêu rõ các chiều nào được tỷ lệ trước khi chọn số mũ.
Use the correct geometric measure: triangle area is half base times perpendicular height; cylinder volume is base area times height. Surface area adds exposed faces, while volume measures enclosed space. A slant length is not automatically the perpendicular height required by an area formula. Attach square or cubic units to the result.
Góc đối đỉnh bằng nhau. Đối với đường thẳng song song cắt bởi đường chéo, góc đồng vị và góc so le trong bằng nhau, và góc trong cùng phía cộng lại bằng 180°. Tổng ba góc trong của tam giác bằng 180°; góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề. Các quy tắc này phụ thuộc vào sự song song được nêu hoặc đánh dấu, không phải vẻ ngoài của bản vẽ.
Tam giác tương đồng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ; tam giác bằng nhau còn có các cạnh tương ứng bằng nhau. Hai góc xác định tính tương đồng nhưng không xác định sự bằng nhau về kích thước. Duy trì sự tương ứng khi viết tỉ lệ. Sắp xếp cạnh-cạnh-góc không đảm bảo tính bằng nhau trên toàn cầu, trong khi cạnh-góc-cạnh bao gồm góc nằm giữa hai cạnh.
Hệ số tỷ lệ $k$ thay đổi mọi độ dài tương ứng. $A_2=k^2A_1$ và $V_2=k^3V_1$ đối với các hình đồng dạng. Nếu $k=3/2$ và $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, thì $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Thay đổi chỉ một chiều kích không chứng minh được các quy tắc đồng dạng này.
Worked example. Two similar solids have edge ratio 2:3, so surface-area ratio is 4:9 and volume ratio 8:27. A triangular garden with base 12 m and perpendicular height 5 m has area 30 m². If a triangle has interior angles 48° and 67°, its third is 65° and the adjacent exterior angle is 115°=48°+67°.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Hai vật thể hình trụ đồng dạng có diện tích bề mặt lần lượt là 96 và 216 cm². Thể tích của vật nhỏ hơn là 160 cm³. Tìm thể tích của vật lớn hơn.
Lập luận. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Thể tích sử dụng lập phương: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Sử dụng trực tiếp tỉ số diện tích sẽ cho ra kết quả thể tích sai.
Thực hành 2
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 13 cm và một cạnh góc vuông là 5 cm. Tìm cạnh góc vuông còn lại, diện tích và sin của góc đối diện với cạnh 5 cm.
Lập luận. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Thực hành 3
Hai góc trong của một tam giác lần lượt là 42° và 73°. Tìm góc thứ ba và góc ngoài kề với nó. Những góc này liệu có đủ để xác định toàn bộ độ dài các cạnh?
Lập luận. Góc thứ ba là $180-42-73=65$ độ. Góc ngoài kề với nó là $180-65=115$ độ, cũng là $42+73$. Các góc xác định hình dạng, không phải kích thước; tam giác相似 có thể có độ dài cạnh khác nhau.
Thực hành 4
Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường chéo. Một góc đồng vị là 68°. Tìm góc đồng vị tương ứng của nó và góc kề bên trên đường thẳng thứ hai. Giải thích điều kiện nào đã cho justification cho từng bước.
Lập luận. Tính song song tạo ra góc tương ứng khớp 68°. Cặp kề nhau tạo thành góc bẹt, nên góc kia là 180°−68°=112°. Góc tương ứng bằng nhau yêu cầu các đường thẳng song song được nêu; tổng góc bẹt sử dụng tính kề nhau trên một đường thẳng. Một bản vẽ tương tự nhưng không có sự song song sẽ không làm cơ sở cho đẳng thức đầu tiên.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Chỉ sử dụng k² hoặc k³ khi toàn bộ hình được phóng to/thu nhỏ; không suy luận ra các đường thẳng song song hay chiều cao vuông góc từ bản vẽ chưa có ký hiệu.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.