Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- So sánh trung bình, trung vị, độ lệch cực đại và độ lệch chuẩn một cách định tính
- Dự đoán tác động của việc cộng hoặc nhân mọi giá trị dữ liệu
- Đọc thông tin tần số mà không nhầm lẫn giữa giá trị và số đếm
Kiến thức nền: Dữ liệu có thứ tự; tần số; trung bình và trung vị.
Giải thích và chọn phương pháp
Trung bình sử dụng tổng của tất cả các quan sát chia cho số lượng của chúng; trung vị là giá trị ở giữa của các quan sát đã sắp xếp. Tần số có nghĩa là một giá trị lặp lại: nếu 2 xuất hiện ba lần và 8 một lần, trung bình là (3·2+8)/4=3.5, không phải (2+8)/2. Các vị trí ngang trên biểu đồ là các giá trị và tần số xác định bao nhiêu quan sát chúng đại diện.
Độ lệch cực đại là giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất; độ lệch chuẩn mô tả khoảng cách điển hình từ trung bình. Bạn không cần ghi nhớ toàn bộ công thức để so sánh các phân bố cân đối đơn giản: dữ liệu tập trung gần trung bình có độ lệch chuẩn nhỏ hơn dữ liệu di chuyển xa hơn về phía đối xứng. Giá trị ngoại lai có thể làm thay đổi đáng kể trung bình và độ phân tán trong khi vẫn giữ trung vị ổn định.
Cộng c vào mọi quan sát sẽ làm tăng cả trung bình và trung vị thêm c nhưng giữ nguyên độ lệch cực đại và độ lệch chuẩn, vì khoảng cách cặp đôi không thay đổi. Nhân mọi quan sát với k dương sẽ nhân trung bình, trung vị, độ lệch cực đại và độ lệch chuẩn lên k. Nói chung, độ phân tán tỷ lệ với |k|, trong khi thừa số âm đảo ngược thứ tự.
Khi so sánh các biểu đồ, hãy kiểm tra thang đo và số lượng quan sát trước khi đưa ra nhận xét về độ rộng apparent. Một biểu đồ bị kéo giãn theo chiều ngang có thể trông biến động hơn mà không đại diện cho các giá trị khác nhau. Một tuyên bố về sự bằng nhau của độ lệch chuẩn cần phân bố thực tế, không chỉ là độ lệch cực đại bằng nhau hay trung bình bằng nhau.
Tần suất đếm các quan sát lặp lại. Các giá trị 1, 3, 7 với tần số 2, 1, 1 đại diện cho bốn quan sát: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. Median là $(1+3)/2=2$; nó không cần bằng trung bình cộng.
Ví dụ minh họa. A={4,5,6} và B={0,5,10} đều có trung bình cộng và trung vị là 5, nhưng B có độ phân tán lớn hơn. Thêm 7 vào A thu được A+7={11,12,13}, trung bình cộng là 12 và giữ nguyên độ lệch chuẩn của A. Nhân A với 2 thu được {8,10,12}; trung bình cộng của nó là 10 và khoảng cách cũng như độ lệch chuẩn đều tăng gấp đôi. Khoảng cách bằng nhau đơn thuần không đảm bảo độ lệch chuẩn bằng nhau.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Các giá trị 2, 5, 8 có tần số lần lượt là 3, 2, 1. Tìm trung bình, trung vị và độ lệch cực đại.
Lập luận. Dữ liệu là 2,2,2,5,5,8. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. Trung vị là trung bình cộng của vị trí 3 và 4, tức là $(2+5)/2=3.5$. Khoảng cách $R=8-2=6$.
Thực hành 2
Mỗi quan sát đều được thay đổi bởi $z=3x-4$. Tìm giá trị trung bình mới, trung vị và khoảng biến thiên. Nêu cách độ lệch chuẩn thay đổi mà không cần tính toán.
Lập luận. Giá trị trung bình là $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. Trung vị là $3(3.5)-4=6.5$. Độ lệch cực đại là $3(6)=18$. Độ lệch chuẩn gấp ba lần; việc trừ đi 4 không làm thay đổi khoảng cách từ giá trị trung bình.
Thực hành 3
So sánh A = {0, 0, 10, 10} và B = {0, 5, 5, 10}. Cả hai đều có khoảng biến thiên 10. Liệu độ lệch chuẩn của chúng có bằng nhau không? Giải thích.
Lập luận. Cả hai giá trị trung bình đều bằng 5. Mỗi quan sát A cách mean một khoảng 5; các khoảng cách của B là 5,0,0,5. Do đó, B có độ lệch bình phương trung bình nhỏ hơn và độ lệch chuẩn nhỏ hơn. Chỉ có cùng độ lệch cực đại là chưa đủ.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Không lấy trung bình cộng các nhãn danh mục riêng biệt khi tần suất khác nhau, hoặc nhầm lẫn giữa một phân dịch phân phối với một phân phối có độ phân tán lớn hơn.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.