Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Nhận dạng nghiệm, đỉnh và tham số từ các dạng hàm tiện ích
- Phân biệt sự thay đổi tuyến tính cộng với sự thay đổi mũ nhân
- Biến đổi đồ thị trong khi theo dõi biến đầu vào và đầu ra
Kiến thức nền tảng: Ký hiệu hàm; bình phương; thừa số tăng trưởng.
Giải thích và chọn phương pháp
Dạng đỉnh a(x-h)²+k xác định tọa độ đỉnh (h,k) và chiều mở; dạng nhân tử xác định các nghiệm. Một hàm có thể tồn tại dưới cả hai dạng. Trong ngữ cảnh, hãy xác định đặc điểm nào có ý nghĩa: chiều cao cực đại xảy ra tại đỉnh của parabol hướng xuống, trong khi nghiệm có thể biểu thị việc trở lại mặt đất.
Với y=A b^t, A là giá trị tại t=0 và b là thừa số mỗi đơn vị thời gian. Tốc độ tăng r cho b=1+r; tốc độ giảm cho b=1-r. Khoảng chênh lệch bằng nhau chỉ ra mô hình tuyến tính, trong khi tỷ lệ bằng nhau chỉ ra mô hình mũ cho các bước đầu vào bằng nhau. Không nên ngoại suy bất kỳ mô hình nào vượt quá miền xác định hợp lý nếu không có lý do liên quan đến ngữ cảnh.
Phép dịch chuyển đầu ra f(x)+k di chuyển mọi điểm lên hoặc xuống theo chiều dọc một khoảng k. Phép dịch chuyển đầu vào f(x-h) dịch chuyển đồ thị sang phải một khoảng h: cùng một giá trị đầu vào cũ sẽ đạt được khi x mới lớn hơn. thừa số đặt bên ngoài khuếch đại đầu ra; dấu âm bên ngoài phản xạ qua trục hoành. Xác định phép biến đổi bằng đại số thay vì ghi nhớ hướng mà không kiểm tra một điểm cụ thể.
Đối với thừa số mũ được cho qua nhiều đơn vị thời gian, hãy phân biệt khoảng thời gian đó với một đơn vị. Tăng gấp đôi sau ba giờ có nghĩa là 2^(t/3), chứ không phải 2^t. Đối với hàm bậc hai, sử dụng dạng biểu diễn được yêu cầu để đọc cực trị hoặc giải tìm biến đầu vào. Giữ riêng biệt giá trị ban đầu, thừa số tăng trưởng và phần trăm tăng trưởng.
Dạng đỉnh $a(x-h)^2+k$ tiết lộ điểm cực trị $(h,k)$. Đối với $H(t)=-2(t-4)^2+32$, giá trị cực đại là 32 khi $t=4$. Đặt $H(t)=0$ bằng không thu được $(t-4)^2=16$, suy ra $t=0,8$. Giới hạn thời gian trong khoảng vật lý mà bài toán mô tả một chuyến bay.
Ví dụ minh họa. h(t)=-4(t-3)²+36 đạt cực đại 36 tại t=3, với các nghiệm t=0 và 6. N(t)=80(1.25)^t bắt đầu từ 80 và tăng 25% mỗi đơn vị; N(2)=125. Một đại lượng gấp đôi sau ba giờ là 80·2^(t/3), nên sau sáu giờ nó là 320. Nếu f(x)=x², thì f(x-2)+5 có đỉnh (2,5).
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Chiều cao mô hình là $H(t)=-3(t-2)^2+12$ mét, mất $t$ giây từ lúc phóng cho đến khi quay về mặt đất. Tìm miền xác định, chiều cao lớn nhất và khoảng thời gian mà chiều cao ít nhất 9 mét.
Lập luận. Mặt đất nghĩa là $H=0$, nên $(t-2)^2=4$ và $t=0,4$. Tập xác định là $0\le t\le4\,\mathrm{s}$. Hệ số âm của bình phương tạo ra giá trị lớn nhất $H(2)=12\,\mathrm{m}$. Với $H\ge9\,\mathrm{m}$, ta có $(t-2)^2\le1$, nên $1\le t\le3\,\mathrm{s}$.
Thực hành 2
Mô hình nuôi cấy bắt đầu với 120 tế bào và phát triển theo hệ số 1.5 sau mỗi hai giờ. Viết $N(t)$ theo giờ $t$, tìm $N(4)$, và phân biệt hệ số với phần trăm tăng trưởng.
Lý luận. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ tế bào. $N(4)=120(1.5)^2=270$ tế bào. Sự phát triển là 50% sau hai giờ, không phải 150%; hệ số bốn giờ là 2.25. Hệ số mỗi giờ sẽ là $\sqrt{1.5}$.
Thực hành 3
Nếu $f(x)=(x+1)^2$, tìm đỉnh của $g(x)=-2f(x-3)+5$ và giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Lập luận. Thay thế giá trị đầu vào trước khi đọc dấu. $g(x)=-2(x-2)^2+5$ có đỉnh tại $(2,5)$ và đạt cực đại 5. Đỉnh cũ ở $-1$ đã dịch chuyển ba đơn vị sang phải đến 2.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Hệ số 1.25 có nghĩa là tăng trưởng 25%, không phải tăng trưởng 125%; f(x-2) dịch chuyển sang phải, và phần trăm lặp lại sử dụng số tiền đã cập nhật.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.