Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Giải phương trình bậc hai, giá trị tuyệt đối, hữu tỷ và căn thức
- Từ chối các nghiệm khả nghi vi phạm phương trình gốc hoặc miền giá trị
- Tìm giao điểm của đường thẳng và đường cong phi tuyến tính
Kiến thức nền tảng: Phân tích nhân tử; phép thế; ràng buộc miền xác định.
Giải thích và chọn phương pháp
Sử dụng cấu trúc trước khi khai triển. Một tam thức bậc hai phân tích bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0. Phương trình giá trị tuyệt đối |u|=a không có nghiệm thực nếu a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0. Hãy xem xét tất cả các trường hợp được phép, không chỉ nhánh dương.
Đối với phương trình hữu tỷ, loại bỏ các giá trị làm mẫu bằng không trước khi nhân qua. Phép nhân có thể tạo ra nghiệm phụ tại các giá trị bị loại. Đối với phương trình căn thức, lưu ý rằng căn bậc hai chính là số không âm, cô lập nó và bình phương cẩn thận. Bình phương chỉ là hệ quả một chiều cho đến khi kiểm tra mọi nghiệm phụ trong phương trình ban đầu.
Để giải hệ đường thẳng – parabol, thay biểu thức đường thẳng vào phương trình bậc hai. Các nghiệm thực cho giá trị x; sử dụng đường thẳng để tìm lại mỗi giá trị y. Không có nghiệm thực nghĩa là không có giao điểm thực. Nghiệm bội của phương trình bậc hai cho tiếp xúc, trong khi hai nghiệm thực phân biệt cho hai giao điểm.
Đồ thị hoặc máy tính có thể giúp định vị nghiệm khả nghi và kiểm tra tỷ lệ, nhưng các giao điểm làm tròn không phải là chứng minh chính xác khi câu hỏi yêu cầu giá trị chính xác hoặc đếm số nghiệm. Liên hệ hành vi đồ thị với phương trình đại số. Nghiệm bội không nên được đếm hai lần như hai cặp có thứ tự khác nhau.
Một nghiệm tiềm năng phải thỏa mãn phương trình ban đầu. Trong $\sqrt{x+6}=x$, vế phải phải không âm. Lập bình phương cho $x^2-x-6=0$, nên các nghiệm ứng viên là $3,-2$. Chỉ có $3$ vượt qua kiểm tra gốc: $\sqrt9=3$.
Ví dụ minh họa. √(x+2)=x yêu cầu x≥0. Bình phương thu được x²-x-2=0, nên x=2 hoặc -1; chỉ có 2 đúng trong phương trình gốc. Với y=x+2 và y=x², giải x²-x-2=0: x=2,-1, cho các cặp (2,4) và (-1,1). Với |2x-1|=5, giải 2x-1=5 hoặc -5 để thu được x=3 hoặc -2.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Giải $\sqrt{2x+3}=x$ trên tập số thực, giải thích tại sao mọi nghiệm dự kiến đều bị loại.
Lập luận. Yêu cầu $x\ge0$. Bình phương thu được $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$. Các nghiệm phụ là 3 và -1. Phương trình gốc cho $\sqrt9=3$ tại 3, nhưng $\sqrt1=1\ne-1$ tại -1. Chỉ có $x=3$ phù hợp.
Thực hành 2
Giải đồng thời hệ $y=x+2$ và $y=(x-1)^2$. Đưa ra các cặp số có thứ tự chính xác và kiểm chứng số giao điểm.
Lập luận. Đặt các biểu thức bằng nhau để thu được $x+2=x^2-2x+1$, hay $x^2-3x-1=0$. Như vậy $x=(3\pm\sqrt{13})/2$ và $y=(7\pm\sqrt{13})/2$ có cùng dấu. Biệt thức 13 dương, nên có hai giao điểm thực phân biệt; cả hai biểu thức cho $y$ đều khớp theo phương trình suy ra.
Thực hành 3
Giải hệ $|3x+2|=7$ và $(x^2-9)/(x-3)=6$. Giải thích vì sao hai phương trình này có số lượng nghiệm khác nhau.
Lập luận. Giá trị tuyệt đối cho $3x+2=7$ hoặc $-7$, do đó $x=5/3$ hoặc $-3$. Phương trình hữu tỷ yêu cầu $x\ne3$ và rút gọn thành $x+3=6$, nghiệm phụ duy nhất 3 bị loại. Phương trình vô nghiệm.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Không báo cáo mọi nghiệm của phương trình biến đổi trước khi kiểm tra ràng buộc gốc và nhánh.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.