Phạm vi và yêu cầu tiên quyết
Dựa trên khung Digital SAT. Các bài tập dạng giấy này không thích ứng và không dự đoán điểm chuẩn hóa.
- Phân tích và khai triển biểu thức mà không thay đổi giá trị của chúng
- Rút gọn biểu thức hữu tỷ và căn thức trên miền giá trị ban đầu
- Sử dụng cấu trúc biểu thức để xác định nghiệm và hệ số
Tiền đề: Quy luật phân phối; hiệu bình phương; căn bậc hai thực.
Giải thích và chọn phương pháp
Khai triển phân phối từng thừa số lên các thừa số còn lại; phân tích ngược lại quá trình đó. x²-5x+6=(x-2)(x-3), do đó dạng tích làm lộ nghiệm trong khi dạng khai triển làm lộ hệ số. Chọn dạng phù hợp với yêu cầu câu hỏi thay vì coi một biểu diễn luôn tốt hơn.
Rút gọn thừa số, tuyệt đối không rút gọn số hạng trong tổng. (x²-4)/(x-2) trở thành x+2 chỉ khi x≠2, vì biểu thức gốc không xác định tại 2. Một điều kiện giới hạn có thể vẫn tồn tại sau khi mọi mẫu số biến mất khỏi công thức rút gọn. Nêu điều kiện trước khi rút gọn, sau đó giữ nguyên nó trong các phép so sánh hoặc giải phương trình.
Các quy tắc lũy thừa phụ thuộc vào ngữ cảnh: a^m a^n=a^(m+n) và (a^m)^n=a^(mn) trong miền thực được phép. Lũy thừa âm tạo thành nghịch đảo và yêu cầu cơ số khác không. Với căn bậc hai thực, √(x²)=|x|, vì căn bậc hai chính là số không âm; nó không phải x với mọi số thực x.
Để kiểm tra sự tương đương, việc thay thế giá trị số có thể phát hiện sai sót, nhưng một giá trị trùng khớp không chứng minh được hai biểu thức bằng nhau. Một đẳng thức đại số hợp lệ kèm theo miền xác định trùng khớp thì có thể. Khi đề yêu cầu tìm hệ số, chỉ khai triển đến mức cần thiết và tính toán đầy đủ mọi đóng góp vào lũy thừa đó.
Các biểu thức tương đương phải đồng nhất trên miền xác định đã nêu. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ chỉ dành cho $x\ne5$. Rút gọn loại bỏ một thừa số, nhưng không thể khôi phục một đầu vào bị loại. Cũng $\sqrt{x^2}=|x|$, vì căn bậc hai chính không thể âm.
*Các bước minh họa: (x²-25)/(x-5) → x ≠ 5 trước khi rút gọn → x+5, vẫn giữ điều kiện x ≠ 5
Ví dụ minh họa. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 với x≠3. Tại x=3, biểu thức ban đầu không xác định. Với x=-5, √(x²)=5=|x|. Trong (2x+1)(x-4), hệ số của x là -8+1=-7 và biểu thức đầy đủ là 2x²-7x-4.
Tài liệu thực hành
Mỗi câu hỏi thực hành dưới đây nêu rõ tất cả dữ liệu cần thiết.
Thực hành tư duy lập luận
Thực hành 1
Rút gọn $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Nêu rõ mọi hạn chế gốc và giải thích vì sao $F$ không giống hệt $x/(x+4)$ trên toàn bộ miền xác định của công thức sau.
Lý luận. Phân tích tử số thành $x(x-4)$ và mẫu số thành $(x-4)(x+4)$. Tập xác định ban đầu loại trừ $x=4,-4$. Rút gọn cho $F(x)=x/(x+4)$ cho $x\ne4,-4$. Công thức sau này duy nhất cho phép $4$, nơi nó tạo ra $1/2$, trong khi $F(4)$ không xác định.
Thực hành 2
Tìm hệ số của $x$ trong $(3x-2)(x+5)$ và tính $\sqrt{(x-5)^2}$ khi $x=1$.
Lập luận. Khai triển thu được $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, nên hệ số là 13. Nghiệm là $|x-5|$; tại $x=1$, giá trị là $|-4|=4$, không phải $-4$ hay 16.
Thực hành 3
Một học sinh thử $x=2$ và kết luận rằng $x^2$ và $2x$ tương đương. bác bỏ kết luận và giải nơi chúng thực sự khớp.
Lập luận. Tại $x=3$, các giá trị đầu ra là 9 và 6, nên một phép thử khớp là chưa đủ chứng minh. Giải $x^2=2x$ như $x(x-2)=0$, chỉ thu được $x=0,2$.
Giới hạn và sử dụng tiếp theo
Một công thức rút gọn không tự động là hàm tương đương trên miền xác định lớn hơn; việc rút gọn số hạng xuyên qua phép cộng là vô hiệu hóa.
Đây là các nhiệm vụ thực hành gốc được viết riêng cho khóa học này, không phải là câu hỏi thi chính thức.