T.1 · Real analysis and topology

Chuẩn bị GRE đại học. Mục tiêu cục bộ nằm trong phạm vi ETS đã xem xét; đây là giảng dạy nguyên bản, không phải bài thi chính thức hoặc dự đoán điểm số.

Tiên quyết: Các phát biểu lượng hóa, bất đẳng thức, dãy số và hàm liên tục.

• Áp dụng định nghĩa giới hạn của dãy số và hàm số
• Phân biệt tính compact, tính liên thông và tính đầy đủ
• Sử dụng lập luận không gian metric và topo cơ bản

compact: Mọi phủ mở đều có một phủ con hữu hạn.

supremum: Cận trên nhỏ nhất của một tập hợp.

Một phát biểu epsilon–delta kiểm soát tất cả các đầu vào đủ gần. Thứ tự lượng hóa là quan trọng.

Trong không gian Euclidean thực, các tập đóng và bị chặn là compact. Không áp dụng sự tương đương này cho mọi không gian metric.

Ảnh liên tục của các tập compact là compact, vì vậy một hàm liên tục thực trên miền compact đạt cực trị.

Tính liên thông loại bỏ sự tách rời thành các phần mở rỗng không rời rạc. Tính liên tục bảo toàn tính liên thông; tính đầy đủ là một tính chất riêng biệt.

f(x)=x trên (0,1) là hàm liên tục và bị chặn nhưng không bao giờ bằng với supremum 1. Trên [0,1], hàm số giống nhau đạt giá trị lớn nhất tại 1. Điểm cuối bị thiếu giải thích tại sao định lý miền /></ không áp dụng cho trường hợp đầu tiên.

Kết luận của một định lý không thể được sử dụng trước khi các giả thiết của nó đã được kiểm tra.

Chứng minh tính liên tục của $f(x)=x^2$ tại 2 bằng cách chọn epsilon–delta cụ thể. Giải thích riêng biệt lý do hàm đạt giá trị nhỏ nhất trên $[1,3]$.

Giải mẫu

Cho $\epsilon>0$, chọn $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. Nếu $|x-2|<\delta$, thì $1<x<3$, suy ra $|x+2|<5$.

Việc lựa chọn phụ thuộc vào epsilon, không phải đầu vào x sau này. Khoảng $[1,3]$ là tập khác rỗng và compact trong chuẩn thực thông thường. Tính liên tục đảm bảo cực trị đạt được. Tại đây $x^2\ge1$, với dấu bằng xảy ra tại 1, nên giá trị nhỏ nhất là 1.

Trong không gian metric $X=(0,1)$ với khoảng cách thông thường, X có bị chặn không? X có đóng trong chính nó không? X có compact hay đầy đủ không? Giải thích tại sao định lý Heine–Borel không áp dụng được ở đây.

Kiểm tra sau khi đã làm

X bị chặn và đóng tương đối với chính nó (bù của X trong X là tập rỗng). Dãy Cauchy $1/(n+2)$ không có giới hạn trong X, nên X không đầy đủ, do đó không compact. Trực tiếp, phủ mở tương đối $\{(1/n,1):n\ge2\}$ bao phủ X nhưng không có phủ con hữu hạn nào. Heine–Borel yêu cầu phải vừa đóng vừa bị chặn như một tập con của không gian Euclidean; X không đóng trong $\mathbb R$. Giả thuyết của một định lý không thể thay đổi không gian nền giữa chừng trong một lập luận.