1 · Numbers and the number system — Edexcel International GCSE Mathematics A Ghi chú ôn tập

.1.1.A .1.1.B .1.1.C .1.1.D .1.1.E .1.1.F .1.1.G .1.1.H

Số học và hệ thống số

4MA1 chủ đề 1 (vấn đề chuyên sâu 2, tháng Mười Một 2017) là trọng tâm của trình độ: Các hàng cơ bản 1.1–1.11 chạy từ các số nguyên và bốn quy tắc thông qua phân số, thập phân, lũy thừa, tập hợp, phần trăm, tỉ lệ, cận và dạng chuẩn đến công việc số thực tế; Higher bổ sung chuyển đổi thập phân vô hạn tuần hoàn, căn thức, tập hợp đại số, thay đổi phần trăm lặp lại và bài toán cận. Trong các bài thi tháng Sáu 2024, Strand này cung cấp phép tính ngược phần trăm (2HR Q8), dạng chuẩn (2HR Q9), chứng minh thập phân vô hạn tuần hoàn (2HR Q18), nhân cận trên (2HR Q19), rationalisation căn thức (1HR Q17 series) và ước nguyên với vùng Venn (1HR Q11 series).

Kiến thức bắt buộc cho chủ đề 1:

Họ	Công thức
phần trăm	nhân tử $1 + \tfrac{r}{100}$ (tăng), $\;1 - \tfrac{r}{100}$ (giảm); ngược: ban đầu $=$ cuối cùng $\div$ nhân tử
cận	giá trị $v$ đến 1 d.p. có LB $= v - 0.05$, UB $= v + 0.05$; tối đa hóa tích bằng cách nhân các cận trên
dạng chuẩn	$a \times 10^n$ với $1 \le a < 10$; số mũ cộng khi nhân, trừ khi chia
tỉ lệ	chia theo $\dfrac{\text{parts owned}}{\text{total parts}} \times \text{amount}$

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
ratio/ˈreɪʃɪəʊ/	tỷ lệ
direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/	tỷ lệ thuận
upper bound/ˈʌpə baʊnd/	giới hạn trên
lower bound/ˈləʊə baʊnd/	Giới hạn dưới
standard form/ˈstændəd fɔːm/	dạng chuẩn

.1.1.A .1.1.B .1.1.C .1.1.D .1.1.E .1.1.F .1.1.G .1.1.H

Số nguyên, bốn phép toán và thứ tự ưu tiên tính toán

Số nguyên bao gồm số dương, số âm và số không; giá trị vị trí xác định giá trị của từng chữ số. Số có hướng xuất hiện trong thực tế (nhiệt độ, nợ nần, mực nước biển); sắp xếp đặt chúng trên trục số. Bốn quy tắc với số âm: cùng dấu thì cộng, khác dấu thì trừ, hai số âm tạo ra số dương. Dấu ngoặc, sau đến số mũ, rồi chia/nhân, cuối cùng mới cộng/trừ (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, trong khi $(3 + 4) \times 2 = 14$. Số lẻ, số chẵn, số nguyên tố (chính xác hai ước), ước và bội phân loại số nguyên; ước chung và bội chung dẫn đến Ước chung lớn nhất (UCLN) và Bội chung nhỏ nhất (BCNN).

Cây thừa số: 72 phân tách thành 2, 2, 2, 3, 3 và 90 thành 2, 3, 3, 5 — Cây thừa số: 72 = 2³ × 3² và 90 = 2 × 3² × 5, do đó ƯCLN = 2 × 3² = 18

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
set/set/	tập hợp
union/ˈjuːnɪən/	hợp
intersection/ˌɪntəˈsekʃn/	giao
membership/ˈmembəʃɪp/	thành viên
universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/	tập toàn phần
empty set/ˈempti set/	tập rỗng
complement/ˈkɒmplɪmənt/	bù
Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/	sơ đồ Venn

.1.2.A .1.2.B .1.2.C .1.2.D .1.2.E .1.2.F .1.2.G .1.2.H .1.3.A

Phân số

Phân số bằng nhau rút gọn hoặc mở rộng: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Hỗn số và phân số thông thường chuyển đổi bằng phép chia có dư. Mẫu số chung giúp sắp xếp, so sánh, cộng và trừ phân số: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. Một phân SỐ của một đại lượng thực hiện phép nhân: $\tfrac34$ của 48 là 36; biểu diễn một số thành phân số của số khác thực hiện phép chia ($7$ như một phân số của $28$ là $\tfrac14$). Phép nhân phân số nhân tử số với mẫu số; phép chia nhân với số nghịch đảo — phân số đơn vị như nghịch đảo nhân ($\tfrac13$ hoàn tác $3$). Phân số chuyển sang thập phân (chia) và phần trăm (nhân với 100).

Thập phân vô hạn tuần hoàn (Nâng cao) chuyển đổi bằng đại số: đặt $x = 0.306306\ldots$; sau đó $1000x = 306.306\ldots$; trừ đi, $999x = 306$, nên $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (Tháng Sáu 2024 2HR Q18). Thập phân hữu hạn là phân số có mẫu số là lũy thừa của mười.

.1.3.A .1.3.B .1.3.C .1.3.D .1.3.E .1.4.A .1.4.B .1.4.C .1.4.D .1.4.E

Số thập phân, lũy thừa, ước và bội

Giá trị vị trí của số thập phân gồm phần mười, phần trăm, phần nghìn; sắp xếp so sánh các các chữ số có giá trị lớn nhất trước. Số chính phương ($1, 4, 9, \ldots$), **số lập phương ($1, 8, 27, \ldots$), căn bậc của chúng, và ký hiệu chỉ số với các luật nhân và chia cho lũy thừa nguyên dương: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; Tháng Sáu 2024 1HR Q11 các yếu tố gia đình phân tích số lớn thành số nguyên tố và đọc tích của các vùng từ sơ đồ Venn ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). Các UCLN lấy lũy thừa thấp nhất của mỗi số nguyên tố chung; **BCNN lấy lũy thừa cao nhất của mọi số nguyên tố: đối với $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ và $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, UCLN $= 2^2 \cdot 3 = 12$ và BCNN $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

Các chữ số của 0.000072 với năm mũi tên chỉ điểm thập phân di chuyển sang phải để tạo ra 7.2 — Di chuyển điểm 5 sang phải đặt cho 7.2, nên 0.000072 = 7.2 × 10⁻⁵

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
prime number/praɪm ˈnʌmbə/	Số nguyên tố
factor/ˈfæktə/	Thừa số
multiple/ˈmʌltɪpl/	Bội
equivalent fractions/ɪˈkwɪvələnt ˈfrækʃnz/	Phân số tương đương
mixed number/mɪkst ˈnʌmbə/	Số hỗn hợp
common denominator/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/	Mẫu số chung
recurring decimal/rɪˈkɜːrɪŋ ˈdesɪml/	Thập phân tuần hoàn
square number/skweə ˈnʌmbə/	Số chính phương
cube number/kjuːb ˈnʌmbə/	Số chính lập phương
index/ˈɪndeks/	Chỉ số
highest common factor/ˈhaɪɪst ˈkɒmən ˈfæktə/	Ước chung lớn nhất
lowest common multiple/ˈləʊɪst ˈkɒmən ˈmʌltɪpl/	bội số chung nhỏ nhất

.1.4.A .1.4.B

Căn thức

Một căn thức là căn vô tỷ chính xác như $\sqrt2$. Rút gọn bằng cách tách căn bậc hai: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, sử dụng $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ không rút gọn được.

Trục căn thức ở mẫu loại bỏ căn bằng cách nhân cả tử và mẫu với liên hợp — hiệu hai bình phương triệt tiêu nó hoàn toàn. Ví dụ giải: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. June 2024 1HR Q17 họ bài tập trừ căn thức ở mẫu xây dựng từ $2 - \sqrt3$ đến kết quả của họ $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — vì $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, hệ số $(2 + \sqrt3)$ triệt tiêu căn thức hoàn toàn.

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
surd/sɜːd/	căn thức
rationalising the denominator/ˈræʃənəlaɪzɪŋ ðə dɪˈnɒmɪneɪtə/	trừ căn ở mẫu

.1.5.A .1.5.B .1.5.C .1.5.D .1.5.E

Tập hợp

Một tập hợp là một bộ sưu tập các phần tử: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Ký hiệu: $\cup$ (hợp, thuộc ít nhất một trong hai tập), $\cap$ (giao), $\in$ và $\notin$ (thuộc). Tập vũ trụ $\mathcal{E}$ chứa tất cả những gì đang được thảo luận; tập hợp rỗng $\emptyset$ không có phần tử nào; tập bù của tập hợp $A'$ bao gồm mọi phần tử trong $\mathcal{E}$ nằm ngoài $A$. **Sơ đồ Venn vẽ các vùng — ở mức cao với tập hợp đại số, tập con ($B \subset A$: mọi phần tử của $B$ đều thuộc về $A$), số lượng phần tử $n(A)$, và ứng dụng thực tế (khảo sát, vùng thừa số nguyên tố). Tháng Sáu 2024 1HR Q11 gia đình đặt các thừa số nguyên tố của hai số vào sơ đồ Venn hai tập và đọc các tích như $AB$, $A^2$ và $B^2$ từ các vùng kết hợp — ƯCLN là tích của phần giao, BCNN là tích của tất cả các phần tử.

Sơ đồ Venn hai tập hợp trong hình chữ nhật tập hợp toàn phần: Tập A bên trái, B bên phải, giao điểm ở trung tâm, vùng bù được tô đậm, có chú thích các phép toán hợp, giao, bù và n(A).

Từ vựng Luyện tập

English	Tiếng Việt
subset/ˈsʌbset/	tập con
number of elements/ˈnʌmbə ɒv ˈelɪmənts/	số lượng phần tử
multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/	Hệ số nhân
compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/	lãi suất kép

.1.6.A .1.6.B .1.6.C .1.6.D .1.6.E .1.6.F .1.6.G

Phần trăm

Phần trăm có nghĩa là số phần trên 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Phần trăm đóng vai trò như bậc nhân: tăng $12\%$ nghĩa là ×$\times 1.12$; giảm $20\%$ nghĩa là $\times 0.8$. nghịch đảo phần trăm lấy giá trị cuối cùng chia cho hệ số — tháng Sáu 2024 2HR Q8: một chiếc tủ lạnh có giá 6225 rupee sau khi giảm $17\%$% thì ban đầu có giá $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ rupee. Lãi suất kép và khấu hao áp dụng hệ số nhiều lần: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 với lãi suất 3% lãi kép trong 4 năm sẽ tăng lên thành $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; một chiếc xe có giá £12000 giảm giá 15% mỗi năm trong 3 năm sẽ còn lại $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Biểu đồ cột: 300 nhân dân tệ, 240 sau khi giảm 20%, 288 sau khi tăng thêm 20% — Giảm 20% rồi tăng 20% cho kết quả là 288, không phải 300: phần tăng 20% thứ hai được tính trên 240

Khám phá

Tỉ lệ phần trăm, tỉ số và suy luận tỷ lệ

Tăng p% có hệ số 1+p/100; giảm có hệ số 1-p/100

Giải thích tại sao giảm 20% sau đó tăng 20% cho kết quả là 288 thay vì 300.

.1.7.A .1.7.B .1.7.C .1.7.D .1.7.E

Tỉ lệ và tỉ lệ thức

Tỷ lệ so sánh các phần: rút gọn bằng cách chia cả hai vế ($45 : 60 = 3 : 4$); chia theo $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 được chia theo tỷ lệ $2 : 5$ sẽ thu được $\tfrac27 \times 350 = £100$ và $\tfrac57 \times 350 = £250$. Tỷ lệ thuận mở rộng hoặc thu nhỏ giữa các đại lượng: phương pháp đơn vị tìm giá trị của một đơn vị đầu tiên (7 cái bút có giá £4.20, nên một cái bút có giá £0.60 và 12 cái bút có giá £7.20); các đại lượng trong tỷ lệ thuận thay đổi theo cùng cách ($y = kx$). Các bài toán từ kết hợp tỷ lệ với phân số và phần trăm — hãy giữ nguyên đơn vị rõ ràng và kiểm tra xem đáp án có hợp lý không.

.1.8.A .1.8.B .1.8.C .1.8.D .1.9.A

Làm tròn, giới hạn, ước tính và dạng chuẩn

Làm tròn số nguyên đến lũy thừa của 10 và làm tròn số thập phân theo chữ số có nghĩa hoặc chữ số thập phân nơi: $3.4617 \to 3.5$ (2 chữ số có nghĩa) và $3.46$ (2 chữ số thập phân). Một giá trị chính xác luôn đi kèm với giới hạn — 19 làm tròn đến số nguyên gần nhất có nghĩa là $18.5 \le v < 19.5$ — giới hạn trên giới hạn** 19.5 và giới hạn dưới 18.5. Phép ước lượng làm tròn mọi số lại 1 s.f. đầu tiên: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Bài toán giới hạn (Nâng cao) chọn các giá trị cực đại mà câu hỏi yêu cầu — June 2024 2HR Q19: khoảng cách $=$ tốc độ $\times$ thời gian với tốc độ $19$ km/h làm tròn đến số nguyên gần nhất (nên UB $19.5$) và thời gian $1.5$ h làm tròn đến 1 chữ số thập phân (nên UB $1.55$): giới hạn trên của khoảng cách là $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 chữ số có nghĩa).

Thanh giới hạn cho 19 làm tròn đến số nguyên gần nhất (18.5 đến 19.5) và 1.5 làm tròn đến 1 chữ số thập phân (1.45 đến 1.55), với phép nhân giới hạn trên 19.5 x 1.55 = 30.2 được đánh dấu.

Dạng chuẩn viết $a \times 10^n$ với $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (June 2024 2HR Q9). Số mũ cộng và trừ trong quá trình nhân và chia các số dạng chuẩn, và và trừ đi qua phép nhân và chia các số dạng chuẩn, cũng như phím $\times 10^{\wedge}$ của máy tính giữ cho quá trình tính toán chính xác.

Trục số từ 7.95, bao gồm, đến 8.05, không bao gồm — 8.0 cm làm tròn đến 0.1 cm gần nhất: 7.95 ≤ L < 8.05

Khám phá

Độ chính xác, cận dưới và cận trên, và các phép đo hợp

Một giá trị làm tròn đến gần nhất với đơn vị u nằm từ giá trị đã cho trừ đi u/2 lên đến (thường không bao gồm) giá trị đã cho cộng thêm u/2.

Giải thích sự khác biệt về việc bao gồm hoặc loại trừ điểm biên đối với một phép đo làm tròn đến 8.0 cm.

.1.10.A .1.10.B .1.10.C .1.11.A

Số trong bối cảnh: đơn vị, thời gian và máy tính

kèm theo. Đơn vị tiêu chuẩn: khối lượng (kg, g), chiều dài (km, m, cm, mm), diện tích, thể tích, thời gian kèm theo. Đơn vị tiêu chuẩn: khối lượng (kg, g), độ dài (km, m, cm, mm), diện tích, thể tích, thời gian (giây đến năm, đồng hồ giờ 12- và 24-giờ), và các chuyển đổi giữa chúng ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A mất đi độ chính xác: giữ nguyên độ chính xác đầy đủ trong suốt quá trình tính toán và chỉ làm tròn ở cuối mất độ chính xác: giữ nguyên độ chính xác đầy đủ trong suốt quá trình tính toán và chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đáp số, làm tròn đến độ chính xác yêu cầu.

.1.10.A .1.10.B .1.10.C .1.11.A

Danh sách kiểm tra

Số nguyên, thứ tự, số có hướng, bốn phép tính cơ bản, quy tắc BIDMAS, số lẻ, số chẵn, số nguyên tố, ước và bội (F 1.1 A–H).
Phân số bằng nhau, phân số hỗn hợp, mẫu số chung, phân số của một đại lượng, nghịch đảo, chuyển đổi FDP (F 1.2 A–H).
Chuyển thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số bằng đại số (H 1.3 A; Tháng Sáu 2024 2HR Q18).
Thập phân: giá trị vị trí, sắp xếp thứ tự, thập phân hữu hạn thành phân số (F 1.3 A–E).
Bình phương, lập phương, căn bậc, quy tắc lũy thừa, phân tích ra thừa số nguyên tố, Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất (F 1.4 A–E; Tháng Sáu 2024 1HR Q11).
Căn thức: rút gọn, cộng các căn thức đồng dạng, nhân conjugate để khử căn (H 1.4 A–B; Tháng Sáu 2024 1HR Q17).
Tập hợp: ký hiệu, tập hợp toàn phần/trống/bù, biểu đồ Venn; Tập con nâng cao, n(A), đại số và tập hợp thực tiễn (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
Phần trăm: hệ số nhân, tính phần trăm của, tăng/giảm, tìm giá trị ban đầu, lãi suất kép và khấu hao (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; Tháng Sáu 2024 2HR Q8).
Tỉ số ở dạng đơn giản nhất, chia theo tỉ lệ, tỷ lệ thuận, bài toán có lời văn (F 1.7 A–E).
Làm tròn theo lũy thừa của mười, chữ số có nghĩa (s.f.) và chữ số thập phân (d.p.); xác định cận và giải bài toán cận bằng cách chọn cực trị phù hợp; ước lượng qua 1 chữ số có nghĩa (F 1.8 A–D, H 1.8 A; Tháng Sáu 2024 2HR Q19).
Chuyển đổi và tính toán số học dưới dạng chuẩn (F 1.9 A, H 1.9 A; Tháng Sáu 2024 2HR Q9).
Số học hàng ngày, đơn vị tiêu chuẩn và chuyển đổi, tính toán thời gian, kỹ năng sử dụng máy tính (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

Ghi chú biên: Lũy thừa phân số, âm và bằng không nằm ngoài các quy tắc nhân và chia thuộc chủ đề 2; đồ thị tỷ lệ thuộc các chủ đề 2 và 4; tỷ lệ đo lường (tốc độ, mật độ, áp suất) thuộc chủ đề 4. Thí sinh nền tảng chỉ làm các dòng thuộc phần Nền tảng. Các ví dụ được giải đã được điều chỉnh từ các đề thi Tháng Sáu 2024 đã xem xét hoặc là nội dung gốc; các câu hỏi trong phiếu bài tập đều là nội dung gốc trừ khi có ghi chú khác.