FP3 · Further Pure Mathematics 3

Toán học thuần túy nâng cao 3 (FP3, đề WFM03/01, 1 giờ 30 phút, 75 điểm, kỳ thi đầu tiên Tháng 2020) là đơn vị thuần túy cuối cùng: P1–P4 và FP1 được giả định và có thể được kiểm tra. Nó bổ sung thêm các hàm hyperbolic và nghịch đảo của chúng, elip và hyperbolas với tiêu điểm-trục chuẩn tính chất, các kỹ thuật vi phân và tích phân còn lại (công thức giảm bậc, độ dài cung, diện tích mặt xoay), tích vô hướng với đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều, và algebra ma trận cho đến giá trị riêng và việc chuẩn hóa. Tài liệu tham khảo này bao gồm tất cả những điều đó, với bài thi Tháng 2025 làm cột sống bài giải.

Kiến thức bắt buộc đối với FP3 (được giả định, không dạy lại):

Các hàm hyperbolic được xây dựng từ lũy thừa: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ và $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$, với $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. Đồ thị của $\cosh$ là đường dây treo, ngay cả khi có giá trị tối thiểu $(0, 1)$; $\sinh$ là hàm lẻ qua gốc tọa độ; $\tanh$ là hàm lẻ và bị giới hạn giữa các tiếp tuyến xiên $y = \pm 1$. Hai đẳng thức cần suy ra theo yêu cầu là $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ và $\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$; các đẳng thức tổng thành tích tương tự như lượng giác.

Ví dụ minh họa — một đẳng thức từ các định nghĩa (WFM03 tháng 2025 Q1). Chứng minh rằng $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. Từ vế trái:

ghép cặp $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ với $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ và tương tự cho các số hạng $4x$ — mỗi bước chỉ là tính toán đại số với các tích $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$, đó là lý do điểm số yêu cầu dạng mũ trước khi rút gọn bất kỳ. dạng mũ trước khi rút gọn bất kỳ. Sau đó giải $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: điều đẳng thức thu gọn nó thành $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$, và $\cosh$ không bao giờ bằng 0, nên $\cosh 5x = 4$, dẫn đến $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ và $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

Ví dụ có lời giải — phương trình cosh–sinh (gốc). Giải $2\cosh x + \sinh x = 2$: điều định nghĩa hàm mũ cho $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$, nên $3e^x + e^{-x} = 4$, tức là $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$, tức là $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$, và $x = 0$ hoặc $x = -\ln 3$. Kiểm tra cả hai vào phương trình gốc — không bao giờ cần bình phương.

Các hàm nghịch đảo tồn tại như những hàm đơn lẻ vì $\sinh$ và $\tanh$ là đơn ánh và $\cosh$ là đơn ánh đối với $x \ge 0$; đồ thị của chúng là phép phản xạ qua $y = x$ của các hàm gốc bị giới hạn. Các biểu thức logarit tương đương phải được suy diễn, không chỉ trích dẫn:

Mẫu suy diễn (arsinh). Đặt $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: sau đó $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$, nên $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (nghiệm âm bị loại bỏ vì $e^x > 0$) và $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. Cấu trúc bậc hai theo $e^x$ này giải chính xác mọi phương trình hyperbolic hỗn hợp.

Đường elip $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ có dạng tham số $x = a\cos t$, $y = b\sin t$; hyperbola $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ có $x = a\sec t$, $y = b\tan t$ và cũng có $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$ (nhánh phải). Các độ ly tâm $e$ liên kết mọi thứ với tính chất tiêu điểm–trục chuẩn $PS = e\cdot PN$ (khoảng cách đến tiêu điểm = $e$ × khoảng cách đến trục chuẩn): đối với elip $b^2 = a^2(1 - e^2)$, các tiêu điểm $(\pm ae, 0)$, các trục chuẩn $x = \pm\dfrac ae$; đối với hyperbola $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ với cùng công thức tiêu điểm và trục chuẩn.

Ví dụ giải — độ ly tâm và tiêu điểm (WFM03 Tháng Sáu 2025 Câu9a). Đối với H: $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$, do đó $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ và $e = \tfrac{\sqrt{113}}8$; tiêu điểm là $(\pm\sqrt{113}, 0)$.

Thay thế $y = mx + c$ vào phương trình hình nón và bắt biệt thức bằng không sẽ cho điều kiện tiếp tuyến $c^2 = a^2m^2 + b^2$ đối với elip, $c^2 = a^2m^2 - b^2$ đối với hyperbola (do đó $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ cần thiết ở đó). Tại một điểm tham số, thay vào đó hãy lấy đạo hàm — không cần biệt thức. Các bài toán về tập hợp điểm lặp lại FP1: khoảng cách đến tiêu điểm, trung điểm, hoặc tỷ lệ cố định.

Ví dụ giải — tiếp tuyến, pháp tuyến và đường tròn tiêu điểm (WFM03 Tháng Sáu 2025 Câu9b–e). Tại $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ trên H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$, nên tiếp tuyến là

cắt trục $y$ tại $Q = (0, -7\cot\theta)$; pháp tuyến đã cho $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ cắt nó tại $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. Đường tròn có đường kính $QR$ (các đầu mút $q, r$ nằm trên trục $y$) có phương trình $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$, chứa một điểm $(x, 0)$ chính xác khi $x^2 = -qr$. Tại đây $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ đối với mọi $\theta$, và $113 = (\sqrt{113})^2$ chính là bình phương khoảng cách tiêu cự — do đó cả hai tiêu điểm $(\pm\sqrt{113}, 0)$ đều nằm trên đường tròn. Việc $\theta$ triệt tiêu chính là mấu chốt của bài toán.

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$, và từ các hàm ngược: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — mỗi điều có thể chứng minh bằng cách đảo ngược $y = f(x)$ và đạo hàm ẩn, và chỉ hợp lệ trong miền xác định của nó.

Ví dụ mẫu — đạo hàm hàm ngược trên miền xác định giới hạn (WFM03 Tháng Sáu 2025 Câu 4). Đối với $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ với $x > 0$:

nơi mà $x > 0$ biến $\sqrt{x^2}$ thành $x$ — điều kiện miền xác định đóng vai trò then chốt. Đặt $\dfrac{dy}{dx} = 0$ ta thu được $x = 1$ và $y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$.

Các kết quả chuẩn tương ứng với các đạo hàm. Hoàn thành bình phương trước tiên cho mẫu số dạng căn thức, và xử lý hàm ngược bằng phương pháp tích phân từng phần — chọn $u$ làm hàm ngược và $1$ làm phần còn lại:

Ví dụ mẫu — cả hai kỹ thuật (WFM03 Tháng Sáu 2025 Câu 2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: vì $4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$, tích phân là $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (đạo hàm ngược để kiểm tra). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

Bốn tích phân cần thuộc lòng, mỗi loại thông qua $x = a\sinh t$ (hoặc $x = a\tan t$, $a\coth$-kiểu tách): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. Một công thức giảm bậc biểu diễn $I_n$ qua $I_{n-1}$ (hoặc $I_{n-2}$): tích phân từng phần với phần tử có căn bậc hai là $v$, sau đó viết lại tích phân phần còn lại chứa căn bậc hai theo định nghĩa của $I_n$. Độ dài cung và bề mặt quay đòi hỏi $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ và $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (theo tham số, $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ với $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ cho $S$).

Ví dụ minh họa — xây dựng công thức giảm bậc (WFM03 tháng 6 năm 2025 Câu 5). Với $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, chọn $u = x^n$ và $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

dùng $\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ để làm lộ $I_n$ và $I_{n-1}$. Gộp các: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. Khởi tạo bằng $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ và $I_1 = 6$ (thay thế trực tiếp), rồi đến $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$, và $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$, dẫn đến $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

Ví dụ minh họa — một bề mặt sử dụng thay thế sinh hyperbol (WFM03 tháng 6 năm 2025 Câu 7). Quét $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, qua $2\pi$ quanh trục $x$ (không được dùng máy tính): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. Với $2\sin 2x = \sinh\theta$, nên $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$, tích phân trở thành $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ giữa $0$ và $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$, do đó $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — các thừa số $\cos 2x$ triệt tiêu hoàn toàn, đây là lý do tại sao phép thay thế được đưa ra.

Tích có hướng $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ là vuông góc với cả hai thừa số và có độ lớn bằng diện tích hình bình hành. $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — Tích vô hướng ba vector $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ bằng thể tích có dấu của khối bình hành; nếu bằng không thì ba vector đồng phẳng. Các đường thẳng: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ hoặc $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; các mặt phẳng: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ hoặc $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ với $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$; khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng chéo nhau: chiếu đoạn nối các điểm gốc lên pháp tuyến chung $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

Ví dụ giải — từ mặt phẳng sang đường thẳng rồi đến khoảng cách (WFM03 tháng Sáu 2025 câu hỏi8). Đối với $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: pháp tuyến là $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$, và thay điểm gốc vào ta được $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. Giao với $\Pi_2: x - y + z = 7$: phương hướng của đường thẳng là $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ và một điểm giải đồng thời hai mặt phẳng là $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$, do đó $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. Đường thẳng đi qua $A(2,1,3)$ và $B(3,0,2)$ có phương hướng $(1,-1,-1)$; pháp tuyến chung là $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$, và khoảng cách ngắn nhất là

Định thức và ma trận nghịch đảo mở rộng cho $3\times3$: khai triển theo bất kỳ hàng hay cột nào (dấu $+\,-\,+\,-\,+\,-$); $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$, trong đó ma trận phụ hợp là ma trận chuyển vị của ma trận đồng cofactor. Ma trận singular ($\det = 0$) không có nghịch đảo và giảm chiều. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ và $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. Một giá trị riêng $\lambda$ với véc-tơ riêng $\mathbf v$ thỏa $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — từng hàng, mỗi thành phần của $\mathbf{Av}$ bằng $\lambda$ nhân với thành phần tương ứng của $\mathbf v$ (không phải $\lambda$). Cho $\mathbf v$, đọc $\lambda$ từ bất kỳ hàng nào có tích khác không; nếu không, giải $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ và thay thế ngược. Đối với ma trận đối xứng $\mathbf A$, các véc-tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt là trực giao, và một ma trận trực giao $\mathbf P$ của các véc-tơ riêng chuẩn hóa sẽ khái hóa diagonal: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

Ví dụ minh họa — tìm giá trị riêng từ một véc-tơ riêng đã cho (WFM03 tháng 6 2025 Q3). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ có véc-tơ riêng $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. Hàng 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$, nên $\lambda = 3$. Hàng 2: $3 + 2a + b$ phải bằng $\lambda\times 2 = 6$, và hàng 3: $a + 2 + b$ phải bằng $\lambda\times 1 = 3$. Vậy $2a + b = 3$ và $a + b = 1$: trừ đi, $a = 2$ và $b = -1$. Với $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: tổng các phần tử trên đường chéo chính là $2$ và, khai triển theo hàng 1, $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. Phần còn lại các giá trị riêng sau đó cộng lại thành $2 - 3 = -1$ và nhân với nhau thành $\tfrac{-6}3 = -2$: chúng là $1$ và $-2$. Vector riêng: với $\lambda = 1$, giải phương trình $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ cho $-\,y + 4z = 0$ và $3x + y - z = 0$, nên $\mathbf v = (-1, 4, 1)$; với $\lambda = -2$, $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ cho $3x - y + 4z = 0$ và $2x + y + z = 0$, do đó $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (cả hai hàng đã kiểm tra). Theo dõi và định thức là phép kiểm chứng tự do: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ và $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

Ví dụ giải — ma trận suy biến và nghịch đảo có tham số (WFM03 tháng Sáu 2025 câu 6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$, vì vậy $\mathbf A$ là ma trận suy biến khi $k = -\tfrac98$. Adjacent (ma trận chuyển vị của ma trận phụ hợp) cho ra

Kiểm tra tính hợp lý của phần tử (1,1) trong tích: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, bị triệt tiêu bởi định thức để thu được $1$ ✓.

• Định nghĩa $\cosh, \sinh, \tanh$ từ hàm mũ; suy ra các đẳng thức cơ bản; giải phương trình hỗn hợp qua $e^x$ bậc hai với nghiệm chính xác $\ln$.
• Suy ra dạng logarit $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$; đạo hàm các hàm nghịch đảo với miền xác định phù hợp.
• Sử dụng tham số hóa elip và hyperbol; chuyển đổi giữa $b^2 = a^2(1-e^2)$ và $a^2(e^2-1)$; xác định tiêu điểm và đường chuẩn; tìm tiếp tuyến/pháp tuyến tại các điểm tham số và thông qua điều kiện $y = mx + c$ $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$.
• Đạo hàm và tích phân các hàm hyperbol và hàm nghịch đảo, bao gồm cả phương pháp tích phân từng phần cho biểu thức $\int\operatorname{arcosh}$-type.
• Nắm vững bốn nguyên tắc tích phân căn thức/hữu tỷ tiêu chuẩn; xây dựng công thức giảm dần bằng tích phân từng phần và lặp lại; tính độ dài cung và diện tích mặt xoay một cách chính xác.
• Tính toán $\mathbf a\times\mathbf b$ và $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ cùng ý nghĩa diện tích và thể tích; chuyển đổi giữa dạng phẳng và dạng đường thẳng; tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.
• Đánh giá định thức $3\times3$, tìm nghịch đảo qua ma trận phụ hợp, xử lý trường hợp suy biến, tìm eigenvalue/eigenvector (chuẩn hóa khi yêu cầu) và chập chỉnh hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao $\mathbf P$.