P4 · Pure Mathematics 4

Toán Thuần 4 (P4) là đơn vị toán thuần bắt buộc cuối cùng trong chương trình Toán International A Level và Toán Thuần International A Level. P1–P3 được giả định đã học và có thể xuất hiện trong đề thi WMA14/01 thời gian (1 giờ 30 phút, 75 điểm; quy tắc dùng máy tính và sổ công thức giống nhau). Tài liệu tham khảo này bao gồm chứng minh phản chứng, phân tích phân thức, phương trình tham số, khai triển nhị thức tổng quát, đạo hàm ẩn và đạo hàm tham số, phương trình vi phân, các phương pháp tích phân mở rộng, thể tích vật thể tròn xoay và vector. chuỗi, vi phân ẩn và tham số, phương trình vi phân, phần mở rộng các phương pháp tích phân, thể tích vật thể tròn xoay, và vectơ.

Kiến thức bắt buộc cho P4 (không có trong tập tài liệu):

Chứng minh bằng phản chứng giả định điều ngược lại với khẳng định, suy ra điều vô lý, và kết luận khẳng định ban đầu là đúng. Hai ví dụ kinh điển sau đây cần nhớ:

Ví dụ đã giải — $\sqrt2$ là số vô tỉ. (Một số được gọi là vô tỉ khi không có phân số $\tfrac pq$ nào bằng nó.) Giả sử ngược lại $\sqrt2 = \tfrac pq$ ở dạng tối giản ($p, q$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau, $q \ne 0$).

• Bình phương: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, nên $p^2$ chẵn, suy ra $p$ cũng chẵn: viết $p = 2r$.
• Khi đó $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, nên $q$ cũng chẵn.
• Cả $p$ và $q$ đều chẵn mâu thuẫn với việc $\tfrac pq$ ở dạng tối giản. $\blacksquare$

Ví dụ minh họa — có vô hạn số nguyên tố. Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố: $p_1, \ldots, p_k$.

• Xét $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. Chia $N$ cho bất kỳ $p_i$ nào đều dư 1.
• Vậy $N$ chính là số nguyên tố hoặc có một ước nguyên tố không nằm trong danh sách — dù trường hợp nào thì cũng là một số nguyên tố nằm ngoài $\{p_1, \ldots, p_k\}$, mâu thuẫn với giả thiết. $\blacksquare$

Ví dụ minh họa — mâu thuẫn lượng giác (biên soạn lại từ đề Edexcel IAL WMA14 tháng 6 2025 Câu10). Chứng minh rằng $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ với mọi $90° < x < 180°$.

• Giả sử không: có một $x$ thuộc khoảng có $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Bình phương (cả hai cạnh không âm):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• Nhưng $90° < x < 180°$ dẫn đến $180° < 2x < 360°$, trong đó $\sin 2x < 0$ — mâu thuẫn.
• Vậy không có $x$ nào như vậy và $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ đúng trên toàn bộ miền. $\blacksquare$
• Kiểm tra tại $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; tại $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

Phân tích các hàm hữu tỉ thành phân thức đơn giản. Mẫu số giữ nguyên ở dạng đơn thức lặp lại: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ hoặc $(ax+b)(cx+d)^2$ với yếu tố lặp lại $(cx+d)$ phân tách qua các lũy thừa; nhân tử bậc hai không cần thiết. Phân thức giả (bậc tử số $\ge$ bậc mẫu số) chia trước.

Ví dụ minh họa — các yếu tố khác nhau. Phân tích $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (từ bảng P2 gồm nhiều loại):

• Kiểm tra tại $x = 0$: VT $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; VP $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

Ví dụ minh họa — yếu tố lặp lại. Phân tích $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• Thiết lập với yếu tố lặp lại phân tách qua cả hai lũy thừa:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• Nhân hai vế: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• Tại $x = 0$: $6 = A$. Tại $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• So sánh $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• Kiểm tra tại $x = 1$: VT $= \tfrac{16}{4} = 4$; VP $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

Phương trình tham số cho biết cả hai tọa độ thông qua một tham số $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. Chuyển về dạng Cartesian bằng cách đưa $t$ làm ẩn chính của một trong hai phương trình. phương trình và thay vào phương trình còn lại (hoặc khai thác một đẳng thức). Đừng bao giờ quên các giá trị bị loại trừ của $x$ nơi ánh xạ tham số bị phá vỡ.

Ví dụ minh họa. Một đường cong có $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Tìm phương trình Cartesian.

• Từ $x = 2t$: $t = \dfrac x2$, nên
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Kiểm tra tại $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; Cartesian: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

Ví dụ minh họa — điểm tham số và pháp tuyến (kiểm chứng từ Edexcel IAL WMA14 Tháng Sáu 2025 Q5). Một đường cong tham số đi qua $P(-7, -3)$ tại $t = 2$ với $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ tại đó (từ $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• Hệ số góc pháp tuyến: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• Kiểm tra: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

Đối với mọi số hữu tỷ $n$ và $\lvert x \rvert < 1$:

Phân tích nhân tử trước: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, hợp lệ với $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. Phân tách các hàm phân thức thành phân thức đơn giản, sau đó khai triển từng phần. Các lũy thừa sẽ không dừng lại trừ khi $n$ là số nguyên dương.

Ví dụ minh họa (điều chỉnh từ Edexcel IAL WMA14 Tháng Sáu 2025 Q8). Khai triển $\sqrt{4 + x}$ thành ba số hạng khác không.

• Nhân tử: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, hợp lệ với $\lvert x\rvert < 4$, có $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• Kiểm tra tại $x = 1$: dãy số cho $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; đúng $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (số hạng thứ ba kéo giá trị hai số hạng 2.25 xuống trong khoảng 0.002).

Đạo hàm ẩn đạo hàm cả hai vế theo $x$, xem xét $y$ theo $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, và các tích phân như $xy$ cần quy tắc đạo hàm của tích: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. Sau đó giải tìm $\dfrac{dy}{dx}$.

Vi phân tham số: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ khi $dx/dt\ne0$; nếu không, kiểm tra tiếp tuyến trực tiếp.

Ví dụ có lời giải — tiếp tuyến ẩn (biên tập từ Edexcel IAL WMA14 Tháng 6 2025 Câu1). Đường cong $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ đi qua điểm $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. Tìm tiếp tuyến tại đó.

• Đạo hàm từng hạng tử:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• Tại $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, nên
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• Tiếp tuyến: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• Kiểm tra: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

Xây dựng phương trình từ mô tả tốc độ, sau đó giải phương trình tách biến:

Kiểm tra bất kỳ giá trị nào bị triệt tiêu khi tách biến: nghiệm hằng có thể bị mất. Sử dụng điều kiện biên cho nghiệm riêng. Tốc độ thay đổi liên kết sử dụng quy tắc chuỗi: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

Ví dụ có lời giải — một hình cầu đang tan (Edexcel IAL WMA14 Tháng 6 2025 Câu2). Một hình cầu bán kính $r$ cm có thể tích $V = \tfrac43\pi r^3$ và tan với $\dfrac{dV}{dt} = k$ (hằng số, tính bằng cm³ mỗi giây). Chứng minh rằng $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• Đạo hàm mối liên hệ thể tích: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• Quy tắc chuỗi: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, nên
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• Hằng số $\dfrac{k}{4\pi}$ nhân với $\dfrac{1}{r^2}$: tốc độ giảm của bán kính tỷ lệ nghịch với $r^2$. $\blacksquare$
• Giải thích: các hình cầu nhỏ biến mất nhanh bất thường — milimet cuối cùng tan nhanh nhất.

Ví dụ minh họa — phương trình tách biến (biên tập từ Edexcel IAL WMA14 tháng Sáu 2025 Q3). Giải $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, biết $y = 4$ tại $x = \tfrac\pi6$.

• Tách: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (vế phải tích phân thành $\tfrac32\sec 2x$, đảo ngược $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• Thay $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, suy ra $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• Kiểm tra: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• Thay thế (thường được cho trước): viết lại tích phân theo $u$, điều chỉnh $dx$ thông qua $\dfrac{du}{dx}$, tích phân, thay lại. Đây là đạo hàm chuỗi đảo ngược.
• Tích phân từng phần: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — đạo hàm của tích đảo ngược. Biết $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ và các lần lặp lại để giải tích phân dạng $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• Phân tích thành phân thức đơn giản biến một hàm hữu tỉ thành tổng các $\dfrac{A}{ax+b}$ (tích phân thành logarit) và $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (thành lũy thừa).

Ví dụ minh họa — tích phân từng phần có sự lặp lại. Tìm $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (cần thiết cho thể tích vật thể quay quanh trục với đường cong lượng giác).

• Tích phân từng phần với $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• Tích phân từng phần lần hai trên tích phân mới ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• Tích phân ban đầu xuất hiện trở lại; gom nó lại:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

Quay vùng dưới $y = f(x) \ge 0$ quanh trục $x$ tạo thành một khối mà thể tích là

thể tích vật thể quay

Bình phương hàm trước khi tích phân, sử dụng các đồng thức để xử lý $\sin^2$/$\cos^2$, và tách theo tính tuyến tính. Với phương trình tham số, thay thế $y^2\,dx$ bằng $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ giữa các giá trị tham số; diện tích dưới đường cong tham số sử dụng $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

Ví dụ minh họa — thể tích với một đồng thức (cấu trúc điều chỉnh từ Edexcel IAL WMA14 Tháng Sáu 2025 Q9). Vùng dưới $y = 3\cos x$ cho $0 \le x \le \tfrac\pi2$ quay quanh trục $x$; tìm thể tích chính xác.

• Kiểm tra: trung bình của $\cos^2x$ trong một vòng bán là $\tfrac12$, do đó $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ chính xác.

Một véc-tơ có độ lớn và hướng, được viết là $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ hoặc dưới dạng cột.

Độ lớn là $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; với $\mathbf a\ne\mathbf0$, véc-tơ đơn vị theo hướng của nó là $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. Véc-tơ không không có hướng.

Phép cộng và nhân vô hướng có ý nghĩa hình học (phép tịnh tiến, co giãn, song song khi một véc-tơ là bội số của véc-tơ kia).

Tích vô hướng $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ cho phép tính góc giữa các vectơ khác không thông qua $\cos\theta$. Vectơ vị trí của $B$ so với $A$ là $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

Ví dụ minh họa — tam giác 45° (Edexcel IAL WMA14 Tháng Sáu 2025 Q6, đã kiểm chứng đầy đủ). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, và góc $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, nên $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• Điều kiện góc với $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• Kiểm tra: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ khớp với tích vô hướng.

• Cấu trúc chứng minh mâu thuẫn (√2, số nguyên tố) với giả thiết được nêu rõ và tên mâu thuẫn được chỉ định.
• Phân tích thành phân thức riêng bao gồm cả thừa số tuyến tính lặp lại; chia phân thức không chính xác trước; kiểm tra bằng cách thay giá trị.
• Chuyển đổi tham số ↔ Cartesian với các giá trị bị loại trừ; tìm tiếp tuyến và pháp tuyến tham số qua dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• Khai triển $(a + bx)^n$ cho phân thức $n$ có điều kiện hợp lệ; kết hợp khai triển của phân thức riêng.
• Vi phân ẩn (quy tắc tích cho các số hạng hỗn hợp) và theo tham số; lập phương trình vi phân từ tốc độ liên quan.
• Giải phương trình tách biến với điều kiện biên; kiểm tra nghiệm riêng.
• Tích phân theo phương pháp đặt ẩn phụ, từng phần (bao gồm lặp lại, $\ln x$), và phân thức riêng.
• Tính thể tích khối tròn xoay $\pi\int y^2 dx$ và diện tích tham số qua $dx/dt$.
• Sử dụng vectơ: độ lớn, vectơ đơn vị, vectơ vị trí; góc tích vô hướng.